The Human Story Lurking behind the Hofstadter Butterfly

编者按：2018年，认知科学家道格拉斯·霍夫施塔特（Douglas Hofstadter）应邀在瑞典乌普萨拉大学的西格巴恩讲堂（Siegbahn Hall）发表讲座，讲述他博士论文中「霍夫施塔特蝴蝶」能谱背后的人生故事。他1975年在俄勒冈大学取得物理学博士学位，此后转向认知科学，以《哥德尔、艾舍尔、巴赫》一书闻名于世。本文依据现场录音编译整理，仅删去口语枝节与寒暄重复，论证、例子与转折均按原貌保留。

致敬西格巴恩与父亲

在进入正题之前，我想先说一句：我非常喜欢瑞典。我在这里住过六个月，那是很久以前的事了，整整五十二年前，我爱上了这里的文化、人民、语言，一切的一切。所以今天能来到这里，能在这间美妙的讲堂里发言，是我的荣幸。

不知道今年是否已有别的讲者提到，2018年是凯·西格巴恩（Kai Siegbahn）诞辰一百周年。他的画像就挂在那边，旁边那位我想是他的父亲曼内·西格巴恩（Manne Siegbahn）。我记得凯·西格巴恩生于1918年4月20日，所以今年在西格巴恩讲堂讲话，可谓恰逢其时。我和凯·西格巴恩见过几次面，最后一次大约是二十二年前。他为人所熟知的一部分工作是测量康普顿效应的某些性质，这正是我早前那场关于爱因斯坦的讲座里谈到的内容。这件事很有意思，因为它把他和我父亲联系在了一起。我父亲也是物理学家，早年同样做过康普顿效应的时间测量。这是他们的共同点，而且我知道他们彼此相识，见过很多次面。

我还想说，今天碰巧是我父亲的生日。所以我想把这场讲座献给他，作为对他的纪念。他对我的影响巨大。这场讲座主要讲的是我的博士论文，而那篇论文的致谢里，我写了许多感谢的话，最后一段是给我父亲的。我是这样写的：「最后我想说，我对自然之美与简洁的永恒信念，直接来自我的父亲罗伯特·霍夫施塔特（Robert Hofstadter）。这一信念在此处已经是，并将永远是我看待宇宙的主要指导原则。」这句话到今天依然成立。讲座中他还会出现几次。

这里有一张总览，我不打算逐条念给大家听。简单地说，这场讲座讲的是我如何经由一条迂回曲折、磕磕绊绊的路进入物理学，如何在物理学里快乐了一阵子，然后变得很不快乐（不快乐大约从这里开始），然后又快乐起来，然后又不快乐，然后又快乐起来。这是一个起起伏伏的故事。研究生和其他正在挣扎的年轻人往往喜欢听这类故事。当然，没有哪个人的故事能直接套用到别人身上，但它至少提供了一个参照系，你可以拿自己的困顿与狼狈和它比一比，一边比一边在职业道路上跌跌撞撞地往前走。

少年数论：η序列

让我从快乐的那部分讲起。我很小的时候就迷上了数学，尤其热爱数论。十六岁左右，我开始狂热地研究某几类整数序列。这一段与后面的内容关系极大，所以请各位耐心一点。它看上去像是初等数论里的一段闲笔，实际上却是整场讲座的核心。

不过在讲这些之前，我得先说明，我做的很多工作是和朋友一起做的。我小学时最好的朋友之一叫罗伯特·伯宁格（Robert Boeninger）。我们两个都痴迷数学和物理，罗伯特一直想不通，为什么数论在物理学里没有用武之地。1969年他写了一封信问这个问题，那已经是数论工作做完很久之后了。这封信后来被收进了一本书，就是费曼的女儿米歇尔编的《费曼语录》（The Quotable Feynman）。她翻阅了大量父亲的通信和文稿，把其中最有意思的话收进书里。我碰巧读到了罗伯特的问题，此前我根本不知道他给费曼写过信，而费曼确实回了信。书里引的回信是这样的：「我不知道为什么数论在物理学中找不到应用。我们似乎需要的是连续变量的函数、复数和抽象代数的数学。」费曼不相信数论会和物理学有什么关系，几乎没有物理学家相信过。

我六十年代初在斯坦福做的那些工作，大体上是实验性的，或者说经验性的：我做了大量计算。一开始我用的是我父亲算所得税用的那台弗里登（Friden）老式计算器，后来用上了斯坦福的一台Burroughs 220计算机，再后来随着斯坦福的计算设备越来越先进，我又用了别的机器。

那么我探索的是什么？我探索的是我称为「η序列」（eta sequences）的东西，你也可以叫它「人行道序列」。想法很简单。想象一条人行道，每块方砖的边长恰好是一，我们这里讲的是绝对精确。我在这条人行道上迈步，每一步的长度是根号二，精确到根号二的每一位数字。于是我走得完美无缺，每一步都会跨过人行道上的一两条线，因为方砖比我的步子略小一点。这里α是步长，红点标出我落脚的位置，当然一切都是无限精确的。我走下去，第一步跨过一条线，然后两条，然后一条，然后两条，然后一条，一条，两条，如此继续。于是我得到一个由一和二组成的序列。一和二正是根号二（1.414……）两侧的整数，离它较近的是一，较远的是二。二总是单独出现，一则成小簇出现，簇很小，有时一个，有时两个。这里出现的现象涉及两种相互竞争的周期性：一种是人行道的周期，另一种是我步伐的周期，两种周期在互相较劲。

我把离根号二较远的那个整数叫做「隔」（sep），因为它把各簇隔开；把较近的那个整数叫做「计」（count），因为它是我要去数的东西。为了好记：count以C开头，正好也是closest（最近）的C；sep来自separator（分隔），以S开头，也是second closest（次近）的S。

接下来我要做一件我称为「对序列求导」的事，也就是数一数相邻两个「隔」之间有几个「计」。这样得到一、二、一、二、一。这其实是个很特殊的情形，我再给大家看一个更一般的例子：α不再是根号二，而是六和七之间的某个数。这是属于这个数的η序列，它的「隔」是七，也就是次近的整数；「计」是六，六先出现四个，再四个，再三个，再四个，再四个。对它求导，得到的又是一个由两个整数组成的序列，看上去很像另一个η序列，只不过属于另一个数，我们可以叫它α′。那它真的是一个η序列吗？答案是肯定的。

这就是我所谓的「η序列基本定理」：对一个η序列求导，也就是数每两个「隔」之间「计」的个数，你得到的仍然是一个η序列，属于另一个数α′。α′可以由一个简单公式算出：α′ = (sep − α) / (α − count)，也就是到次近整数的距离除以到最近整数的距离，得到的是一个大于一的实数。这样你就可以从α得到α′，再得到α″、α‴，一直做下去。如果α是无理数，这个过程永不终止，我们暂且假设α是无理数。这些实数各自带着它们的「计」和「隔」，也就是最近和次近的整数。于是我们得到两列整数：一列是次近整数，一列是最近整数。任何实数都可以这样做，只要它是无理数就能无限做下去；有理数也可以做，只是会终止。

举个例子。若α是根号二，导出的序列恰好就是原序列本身。换句话说α′ = α，于是α″当然也等于α，以此类推：一列根号二无限延伸下去，「计」永远是一，「隔」永远是二。这是这个现象最简单的例子。另一个介于一和二之间的著名常数是黄金比例，(1 + √5)/2。结果它的两列恰好相反：它离二比离一更近，所以「计」永远是二，「隔」永远是一，而且它也是自己的导数。根号二和黄金比例之间有这样一种奇妙的互补关系。

这自然引出一个更一般的问题：如果把两列对调，会得到什么数？给定α，得到它的「计」列和「隔」列，把两列交换，那么哪个数β的「计」列和「隔」列正好是交换后的结果？我把这个函数叫做INT。在上面的例子里，根号二的INT是黄金比例，黄金比例的INT是根号二。一般地说，α给出这两列，把它们交叉互换，找出对应的β，就有β = INT(α)，α = INT(β)。INT就是「交换两列」（interchange）的意思。这是我发明的函数。

我在那几年疯狂探索数论，做了许许多多事情，这只是其中很小的一部分，但它恰恰是最相关的那部分，所以我必须讲给大家听。

INT的自相似结构与间断性

这个函数长什么样？我最初计算它时全靠手算，后来借助那台小计算器，再后来用本地的计算机。那时没有计算机绘图，所有图都得手工画。你们现在看到的是很久以后用计算机画出来的图，展示了完整的答案。我当年一开始并没有看到这个，我看到的东西大致像这样，但模糊得多：一段起伏的小曲线往前走，到这里突然跳一大步，然后又是一段起伏。我看不出是怎么回事，后来才慢慢弄明白，稍后我会讲。请大家先看看这个形状。这些东西，我们可以叫它「肋」（rib），一条肋，又一条肋，再一条肋，越靠近角落越小；而且这一条略有弯曲，下一条弯得少一点，再下一条更少一点，也就是越来越直。它们越靠近角落就越短、越小。这是一个标志性的现象，本讲座后面还会再遇到它。

图中零到一之间的这一段，在一到二之间、二到三之间又原样重复，所以这一段才是主要的现象。仔细看你会发现，每条肋本身又由子肋组成，而你看不到的是，子肋又由子子肋组成，如此无穷。所以这个结构是由它自身的副本组成的，尽管是变形的副本：主对角线是一条直线，而这些肋是弯的，只是越往末端弯得越少。我们可以说，INT由它自身的弯曲副本组成。我可以解释一下：最顶层「计」与「隔」的交换造成了这条反对角线；第二层的交换造成了这些肋；第三层造成子肋，以此类推。每往下一层就多一层嵌套。所以INT由无穷多个更小的、变形的自身副本组成。

这个发现让我兴奋不已，而且我证明了这些结果。我非常勤勉，力求证明自己发现的每一件事。对一个年轻人来说，发现这些东西真是令人陶醉。我觉得自己会一路走下去，成为一名数论学家，这是我的宏愿，于是我去读了研究生。

关于INT，最后再说一点。让我们回到这张图。它在1/2处有一个很大的跳跃间断，正好在1/2；在1/3处也有，在1/4、1/5、2/3、3/4、4/5等处也都有。它在有理数处发生跳跃，2/5、3/7，到处都有。所以它在每一个有理数处都有跳跃间断，但跳跃的大小与分母有关：分母越大，跳跃越小。对于无理数，如果把它看成分子分母越来越大的极限过程，那么无理数就好比一个无穷大整数比上另一个无穷大整数，跳跃的大小于是恰好是零，也就是说，这个函数在所有无理数处连续。这是INT一个有趣的性质：在所有有理数处间断，在所有无理数处连续。

伯克利的抽象之痛

我去了伯克利读研究生。那是一所非常好的学校，但我被要求修的课程极其抽象。令我大为惊讶的是，我觉得它们太抽象了，我和它们建立不起任何联系。我看不到图像，理解不了要求我吸收的东西。作为一个刚入门的研究生，我不得不面对这些，那真是极其痛苦的经历。我告诉各位，那让我非常沮丧。我修了一门数论课，课上从来不提整数。你可以说他们提到了「数」，提到了某种意义上的数，但那是极高的抽象，不是我熟悉并热爱的那些整数。我越来越难受，最后我意识到自己必须离开。数学不会像我期望的那样成为我的未来。那是我人生中非常艰难的一段时期。

我决定纵身一跃，离开数学，同时离开伯克利。六十年代中期的伯克利是激烈政治活动的温床，对我来说有点太过火了。于是1968年我做了这一跃。地理上，我从伯克利跳到了俄勒冈州的尤金；学科上，我从数学跳到了物理学，更确切地说，从数论跳到了粒子物理学（幻灯片上那个费曼图就是粒子的象征）。

但我要说，我不只是从数学跳到了物理学，我是有意跳进粒子物理学的，因为我怀有一种偏见，一种我后来才明白确实是偏见的偏见：物理学只关乎粒子，其余的物理学都是工程，不是正经东西。正经东西是粒子，或许还有广义相对论，除此之外物理学别无他物。

几个月前，谢尔顿·格拉肖（Sheldon Glashow）就在这间讲堂做过一场很有趣的演讲，讲他的学生时代，比我早一些。他说，我引用他的原话：「那时候粒子物理很容易，因为到处都是唾手可得的果实。」也许吧，如果你的导师是施温格（Schwinger），他递给你一个完美的问题说「做这个」，那当然容易。可对我来说一点也不容易。让我讲讲我当时的处境。

预印本洪流：信噪比困境

我们在尤金，理论科学研究所有一个预印本图书馆。每周涌进来的预印本大约有这么厚，你根本弄不清该读什么、不该读什么。我把它叫做「巨大的、回荡不息的喧嚣」。当时空气中飘荡着这样一些粒子：夸克、胶子、坡密子、前夸克、部分子、瞬子、轴子、引力子、孤子、快子、引力微子、戈德斯通玻色子、希格斯玻色子、超夸克、光微子。对一个研究生来说，要理解、要弄明白的东西实在太多，更别提雷杰极点、磁单极子、维尼齐亚诺模型、马约拉纳中微子。我发誓不会全念一遍，但这些就是每周堆在那摞预印本里的东西。

还有这些概念也一起涌来：量子味动力学、自发对称破缺、中微子振荡、渐近自由、卡比博角、重整化群、比约肯标度、温伯格角、超对称大统一理论、普朗克长度、部分守恒轴矢流、SU(3)×SU(3)、色散关系、夸克禁闭、SU(12)、量子色动力学、格点规范理论，等等。更别提改变奇异数的中性弱流、破坏幺正性的深度非弹性过程、卡比博–小林–益川矩阵、阿德勒–贝尔–贾基夫反常、相对论性超导体、跑动耦合常数，如此这般，令人作呕。

我已经技穷了。这是一个信噪比问题：在这座巨大的垃圾场里，你怎样才能认出真正的珍宝？你怎么知道该追随什么、该忽略什么？这难得令人难以置信。我从一位导师换到另一位，再换到另一位，再换一位，没有谁能给我一点清晰。

156个粒子与「我不干了」

决定性的一天是1973年12月14日。我被要求就一篇关于某种规范理论的论文做报告。我尽力去读、去总结，但我痛恨这篇论文，因为论文作者一口气引入了一百五十六个新粒子。

我非常熟悉这样一段历史：1930年，泡利引入了中微子。他当时叫它「中子」，因为我们今天所说的中子那时还没有被发现，他发明了一个中性粒子，就叫它中子，后来费米把它改名为中微子。总之，为了挽救物理学的三条基本守恒律，能量守恒、动量守恒和角动量守恒，他只需引入一个粒子，让它从β衰变中带走动量、能量和角动量。而他对这个狂野的假说害怕到什么程度？他不敢为此写论文，而是写信给一位朋友，那位朋友在一次会议上把信当众念了出来，泡利的想法就是这样为人所知的。我的意思是：泡利，这位你能想象的最鲁莽的物理学家之一，引入一个粒子都吓成那样；而这些物理学家几乎毫无理由地一下子发明了一百五十六个新粒子。

我在大约十个人面前做这场报告，讲到这一点时，我说：「这些人毫无羞耻之心。」然后我把论文扔在地上，走了出去，说：「我不干了。」

在那一刻，我彻底迷失了。这张空白的幻灯片代表的就是那种状态。我已经把人生中的六年投入了粒子物理学，却一无所获。我想，我永远拿不到博士学位了，我该怎么办？我能做什么？那是一个非常、非常可怕的时刻。

三句话打破偏见：晶体也是真空

事情是这样的。我父亲在普林斯顿读研究生时，那里有一位瑞士物理学家，一位非常杰出的固体理论家，当时在那儿做博士后，他就是格雷戈里·万尼尔（Gregory Wannier）。万尼尔恰好在俄勒冈大学。所以我刚到俄勒冈大学、还是个满腔热血的粒子物理学生时，就去向万尼尔做了自我介绍。他对我一直极为礼貌、极为友善，还几次请我去他家吃饭。我因此认识了万尼尔，却做梦也没想过请他当我的导师。对我来说，进入固体物理就是自甘堕落，是走进物理学的贫民窟，我怎么可能设想这种事？这就是我的偏见，根深蒂固的偏见。

我从这种偏见中走出来，靠的是三个人。第一个是我的好朋友皮特·里姆比（Pete Rimbey），他和我一起读研究生。他只是简单地说了一句：「格雷戈里·万尼尔是当今在世最深刻的头脑之一。」这是一句很重的话，我非常认真地对待它，因为我敬佩皮特。第二个是我的好朋友、来自智利的弗朗西斯科·克拉罗（Francisco Claro）。他说：「固体物理是一门美妙的学科，因为它在两个世界之间架起了桥梁：微观世界和宏观世界。」我从来没有这样想过，这句话也给我留下了很深的印象。顺便说一句，弗朗西斯科的工作就是和万尼尔一起做的。最后一个人，是一位我不知道名字的斯坦福物理研究生。有一天我们聊天，他说了一句惊人的话：「粒子物理只有一种真空，就是空无一物的空间那种连续真空；而固体物理有许多种真空，每一种晶体都是一种不同的真空。」

这是一个既有诗意又美丽的想法。它实际上是说，晶体像是一种介质，一种离散的介质，与连续介质相对。它有周期性，它不像空间那样各向同性，它有优先的轴向。这一下子让我想起了数论，想起了实数轴和整数格点这个一维晶格之间的区别。从某种意义上说，数论就是固体物理的数学：一个一维晶体，叠加在真正的真空，也就是实数轴上。突然之间，我开始以完全不同的眼光看待固体物理。这不是自甘堕落，这里面有某种相当美的东西，而且与数论密切相关。

那么，我能和一只「俄勒冈鸭」一起下水游泳吗？我说俄勒冈鸭，是因为那是俄勒冈大学的吉祥物。这是万尼尔的照片。我去找他，问他是否有可能愿意收我做学生，他说：「我有三个问题供你考虑。」前两个我已经不记得了，但第三个我记得清清楚楚。

Wannier的问题：晶体加磁场

那个问题与晶体中的布洛赫能带有关。布洛赫能带是费利克斯·布洛赫（Felix Bloch）1928年发现的：晶体中的电子有一个连续的能量取值范围，构成一条能带。这是一组允许的、连续的能级，能带上方突然出现一个能隙，下方也有一个能隙。于是有允许的能量和禁止的能量，这就是布洛赫能带。

顺便提一句，费利克斯·布洛赫当时在斯坦福，也就是我长大的地方。他和我父亲在同一个系，而且是我父亲最亲近的同事。所以我从小就认识费利克斯，他是我们家非常亲密的朋友。这张照片是1953年我父亲和费利克斯刚刚登上内华达山脉一座美妙的山峰时拍的，右边是我父亲，左边是费利克斯。这是两个我极为珍视的人。

万尼尔向我描述的问题还涉及朗道能级（Landau levels）。这次电子不在晶体里，而是在空无一物的空间里，你问：处在磁场中的电子有哪些能量取值？答案是它们均匀分布，相邻能级之间有间隔，这就是朗道能级。于是很自然的问题是把两种情形合起来：把磁场加到这种离散的真空上，晶体中的电子处在磁场里会发生什么？这是一个非常基本的问题。你只是拿「真空」中的电子（我给真空加引号，因为它是晶体，但它是一种离散的真空），给它加一个磁场，还有什么问题比这更自然呢？然而它一点也不容易。这个问题最初提出已经过去了四十年，仍然没有答案。

请看这张图。设想晶体只是一个二维的正方晶格，一边长a，垂直的另一边也是a。我们考察穿过一个晶格胞的磁通量，它等于磁场乘以晶格胞的面积。而自然界恰好交给我们一个天然的磁通单位，即所谓磁通量子（flux quantum），它等于hc乘以1/e。这是物理学中自然出现的一份磁通，是一把天然的尺子，可以用来量度其他磁通。用刚才说的磁通a²H除以这个自然单位，你得到一个纯数，它以磁通量子为单位衡量磁场。这就是那个基本的数，α：正方晶格中的电子处于磁场里，α就是这一情形的关键数。

格雷戈里对我说：「结果发现，α取有理值和取无理值时，行为不一样。」这在我听来简直是疯了，我无法相信。自然界怎么可能顾及一个实数无穷多位小数中的每一位？没有哪个数能定义得那么精确，这毫无道理。但他说这是事实，是众所周知的，人们已经研究了很多年。我不相信，我心想：「你一定是在开玩笑，万尼尔先生。」有理数和无理数，这当然让我想起了我当年的工作，想起了INT和数论时代探索过的许多其他东西。我对自己说：去做吧，这是个好机会，也许你的某些经验会派上用场。我并不知道，我只是在胡乱猜测。

于是我不得不重新装备自己，至少要对固体物理略知一二，学习这一领域里的各种东西。我只挑其中两个来讲，因为它们与两个关键人物有关：布洛赫和万尼尔。布洛赫态是晶体中电子最基本的状态，它是一种分布在整个晶体上的驻波，带有一个相位因子，大致是e^{ikx}，k是波数，沿着晶体走下去它像一条螺旋线（helix）。这个相位因子的「helix」和「Felix」押韵，这一点我没有放过，稍后给大家看。万尼尔则取布洛赫态，对它做傅里叶变换，使其局域在单个原子或单个原子核上。这些后来被称为万尼尔函数或万尼尔态，常被用来替代布洛赫态展开波函数。

于是我决定给费利克斯写一首五行打油诗。他其实是海森堡的第一个博士生。诗是这样的：「海森堡门下有个学生叫费利克斯，觉得晶体是绝妙的迷幻剂；他发现布洛赫态像螺旋线一样重复，惊得目瞪口呆。」接着我又给格雷戈里·万尼尔写了一首：「物理学家格雷戈里·万尼尔，离开故土去了美利坚；在满是布洛赫波的固体里，他把布洛赫函数变成了一个个点。」我玩得很开心。我给同学写打油诗，给教授写打油诗。

不写打油诗的时候，我其实深陷于另一个项目，它在不断挤占本该属于研究的时间。我在写一本书，叫《哥德尔定理与人脑》，那不是它最终的书名，但当时我就这么叫它。它耗费了大量时间，我实在投入太多了。我非常害怕，如果继续写这本书，博士学位就完不成了。最近我在一个三四十年没打开过的箱子里发现了这份文件。它写于1974年，也就是四十四年前。不知道大家能否看清，上面写着「D.H.理智与生存协会」，D.H.就是我，「章程」。它由一大堆手写的规则组成，包括如果我哪天不做博士论文该受的处罚。我给自己定了各种规则，各种罚款。我把《哥德尔定理与人脑》（它后来当然变成了《哥德尔、艾舍尔、巴赫》）的手稿放进一个抽屉，打开那个抽屉要受非常严厉的处罚。这是我人生中一个有趣的时刻。我确实有一年多完全没碰那份手稿。

从Bloch能带到Harper方程

1974年，格雷戈里·万尼尔要去德国雷根斯堡，我问能不能跟他一起去。他替我安排好了，我在那里得到了一个「科学助理」的职位，说白了就是助教，隶属于古斯塔夫·奥伯迈尔（Gustav Obermair）主持的教研室，他是物理系这一部分的主任。这张照片上是我们这个小组的四个人，你们大概能认出其中一个，那就是我。亚历山大·劳（Alexander Rauh）是我在那里最好的朋友，一位年轻的教授。那位是主持小组的古斯塔夫·奥伯迈尔，那位是格雷戈里。我们一起研究这个问题。

问题在于，右边这三位都是操纵微分方程、超几何级数以及各种数学工具的高手，而我不是。每次我们在谁的办公室开会，我都坐在那里深感自卑。不过我有一个胜过他们的优势，稍后会讲到。现在我们先钻进这个问题的物理里待一会儿，这样大家才能理解当时的处境。

一个电子在晶体中处于磁场里，这种物理情形的薛定谔方程是什么？要有薛定谔方程，就得有哈密顿量。我们从一条布洛赫能带出发：对于二维晶体的每一个波数(k_x, k_y)，都有一个位于能带内部的能量。波数变化时能量随之变化，扫过整条能带。a是晶格常数。这是布洛赫能带最简单的能量函数，还不是哈密顿量，我们要用这个能量函数来构造哈密顿量。

要把一个经典的数变成哈密顿算符，我们使用狄拉克的方子：把一个数换成一个算符，一个微分算符，用狄拉克的话说，从c数变成q数。动量变成ħ/i乘以∇这个微分算符。如果存在电磁场，还要加上这一项，也就是磁矢势，电磁场可以由它导出。于是这个算符变成那个算符。那么，均匀磁场的矢势是什么？答案有很多，有不同的规范都行，我们取的是朗道规范，这是得到恒定磁场最简单的方式：这个矢势的旋度是z方向的恒定场。这就是我们的矢势。

接下来我们要对那个能量函数做狄拉克替换。我们从能量函数，也就是布洛赫能带出发。首先，简单地乘以再除以ħ，于是分子里出现ħk_x，分母里有个ħ。ħk具有动量的量纲，它被称为晶体动量，行为像动量，有时也叫赝动量，它让人联想到动量。那么，如果我们做点魔法式的思考，把这个看起来像、感觉像、行为像动量的ħk换成p − (e/c)A这个动量式的量，会怎样？我们就硬闯进去，把这个换成那个。这在法理上毫无依据，纯粹是一个魔法动作。然后我们再做一次替换，狄拉克替换，把c数换成q数，也就是放进微分算符：p换成(ħ/i) d/dx。A_x是零，所以这一项消失；A_y不是零，就是这里这个小量；这里我们又得到一个微分算符。于是我们得到了相当有趣的东西。

现在把余弦写成两个指数之和并展开。这里的因子二消掉了下面本来会有的因子二，于是这一项变成e^{a·d/dx}之类，还有一些相位因子来自那里。如果你看看这两个微分算符，你可能会认出它们是沿x轴的平移算符，平移的距离是a。所以这一项是向右移动a，这一项是向左移动a，这一项是向上移动a，这一项是向下移动a，后两项带有相位因子。这就是我们构造出来的哈密顿量：从布洛赫能带出发，我们造出了一个哈密顿量。有了哈密顿量，就可以写薛定谔方程了。

这个薛定谔方程把晶体中的五个点联系在一起。它说，这里的波函数ψ(x, y)与ψ(x + a, y)、以及那一个、那一个、那一个有关，也就是与四个相邻点有关，是它们带着相位因子（就在这里和这里）的和。这是一个相当惊人的方程。这只是提醒大家两条轴的方向。我们可以让它看起来更离散一些：因为我们谈的只是晶格上的点，所以用ma代替x，整数乘以a；用α代替磁场；再令ε = E/E₀作为无量纲的能量变量。于是刚才那个方程写成了这个新形式：整数下标对应整数下标，它仍然是薛定谔方程。

现在我们猜测，沿某一条轴可能存在周期行为。我们假设它沿一条轴是纯周期的，这样就可以把问题简化到一维。做分离变量，假设沿一条轴的行为就是这样，代进去会怎样？我不演算了，直接给结果：我们得到一个一维方程，只有一个整数下标。它说，这一点的波函数与这两点的波函数由这个看起来非常简单的方程联系起来。这就是哈珀方程（Harper's equation），1955年由哈珀发现，万尼尔也在同一时期独立发现了它。

这里这一项类似于普通薛定谔方程中的∇²，那是二阶导数，这是二阶差分，所以它是差分方程而不是微分方程，但这一项是二阶导数的对应物。这里有一项的作用像势能，余弦代表晶体，或者说，它就像人行道，有着规则的周期行为；磁场α也在里面。如果α是整数，两种周期现象就不会竞争；但在许多情形下α是无理数，至少不是整数，于是你就有了两种相互竞争的空间周期性：一种来自晶体，一种来自磁场。这些是能量本征值。这就是薛定谔方程，我们可以从中看到晶体和磁场的痕迹。

转移矩阵、胖x轴与能带计数

方程把这三个点的波函数联系在一起。如果改写方程，把g_m的两个因子合并进一个括号，就得到一个递推关系：这一项是这两项之和，其中一项乘上了一个因子。同样，如果α是整数，这个因子就是常数，整个东西几乎就是斐波那契数列；如果α不是整数，这个数就来回变化，但递推关系本身非常简单。于是我们可以用数对来重写它：每次取两个，g_{m+1}和g_m，把它们与左边前一对联系起来，中间就是一个2×2的小矩阵，大部分元素是常数、一和零，只有这里这一项例外。提醒一下，ε是能量，我们假定它固定；α是磁场，这里还有个2π；m是整数，是唯一的变量。

我们看看它在实数轴上是什么样子。我把这个矩阵叫做A_m，因为m就在那里，它随m变化。乘上A₁，我们到了这里；乘上A₂，到了那里；不断乘下去，每次取一个新矩阵，波函数就向右推进，我们得到这一对离散点上新的波函数。那么，对于哪些能量值，这个过程不会发散？也就是说，走到很远的地方时，对某些能量值波函数不会爆炸，对另一些能量值它会爆炸，那在物理上是不可接受的。

我得举个例子，取α = 1/3，这对应于某个以无量纲方式表示的磁场。由于余弦的周期性，这个矩阵与这个矩阵相同，这个与这个相同，这个与这个相同。于是这三个矩阵的乘积与这个乘积相同，与这个、这个也相同。实际上我们只是在把一个矩阵（现在叫它A）自乘到很高的幂。要走得很远，就把A乘到很高的幂。对于大的m，它什么时候爆炸，什么时候保持有界？

古斯塔夫·奥伯迈尔证明，矩阵A有一个简单的判据。在1/3的情形，A是三个矩阵的乘积；如果是2/5，就是五个矩阵的乘积。因为对于有理数，把它代进余弦之后，走一圈会回到自身，矩阵于是重复；但只有走过五步之后才回到自身，也就是这个有理数的分母。所以对于有理数，矩阵A是q个不同矩阵的乘积，q是分母：如果α = p/q是两个整数之比，q就告诉你需要乘多少个矩阵。对这个矩阵的条件是：迹的绝对值小于或等于四。一个非常简单的条件。这个迹涉及q个矩阵相乘，每个矩阵都线性地含有ε，q个乘起来就会出现ε的q次幂，所以迹是ε的q次多项式。

现在轮到我的运气了，一次极其重大的好运，它让我得以入局。记得吗，万尼尔、劳和奥伯迈尔在办公室里挥舞着他们的超几何函数、证明定理，我坐在那里自惭形秽。碰巧教研室里有一台计算机，一台放在桌面上的小小的惠普计算机，我五年前在科罗拉多州的阿斯彭用过同一型号，我知道怎么给它编程。这是它的照片，就是那台机器本身。去年十月我回雷根斯堡时，他们把这台已经四十多年的机器复活了，它在屏幕上打出「你好，道格」向我问候。

我给这台计算机编了程序，让它对许多不同的有理磁场值算出迹何时小于四。以1/3为例，我们得到一个三次多项式，长这样。这是x轴。但问题不在于它在哪里穿过x轴，而在于它的绝对值在哪里小于或等于四。所以我把x轴加宽，变成我所谓的「胖x轴」：它现在是一条粗线，而不是一条无限细的线。这条三次曲线什么时候落在灰色区域里？它在这一段ε值内处于正负四之间，然后跑出去，又回来，在里面待了这么一段，再出去，再回来，然后一去不返。于是1/3有三条能带。

1/5呢？这会是一个五次多项式，这是那台小机器替我算出来的：穿进来，跑得很远，又回来，如此往复，五条不同的能带。2/5呢？长这样，同样是五次多项式，但那些「胖根」的分布很不一样：两条在这边，一条在这边，两条在那边。1/6长这样：一、二、三，它试图逃出去，却没能做到，只是与胖x轴的边缘相切，出不去但在努力；然后它出去了，又进来，如此这般。这里有一条极窄的小能带，然后是一条宽能带，与另一条宽能带相触。1/6有六条能带，中间两条相吻。

11月革命：看见蝴蝶的自相似

大约在1974年9月，我在手工绘制这些图。这台计算机没有绘图仪，我只能让它整夜计算，第二天早上取来数值，到办公室在纸上画出来。这就是我1974年9月开始看到的东西。过了两个月，这是我1974年11月开始看到的东西。稍后我会讲「11月革命」。

我想指出的是，你们或许能从我的INT图里认出这个：有些东西朝着一个角落延伸，越来越小，而且你能隐约看出某种周期性。我无法确切解释，但我直觉这里有些什么。更重要的是，图上这一小块，或者这一块、这一块、这一块，在我看来可疑地像是整张图的副本：中间相吻的两条线其实是两条能带，虽然它们在那一点相触，对应于那边那两条；这三条蓝色的对应那三条，这三条蓝色的对应那三条，如此等等。我心想，天哪，这看起来像一个小副本，这条线对应那条线，这条线对应那条线，所以这是整张图的一个完整的、变形的副本。这就是我开始看到的东西。

我事后把它称为我的「11月革命」，因为恰恰在那个时候，斯坦福的SLAC和东海岸的另一个小组（在哪里无关紧要）同时发现了所谓的J/ψ粒子。那是一个共振态，揭示了第四种夸克，粲夸克的存在。这在当时被视为粒子物理最重大的时刻之一，后来被称为「11月革命」，因为人们发现夸克不只有上、下、奇三种，还有粲夸克，再后来还会发现另外几种。这是物理学中一个非常重大的时刻。我记得当时我在雷根斯堡，父亲在斯坦福，我们在电话里谈起这件事。

这里是另一个小副本，那里还有一个，那里又是一个，一路下去都是。我开始看到真正激动人心的东西了，它让我想起INT，于是我得出结论：G图（G-plot，我给这张图起的名字）由无穷多个更小的、变形的自身副本组成。找到这个我当然极为兴奋，我去找格雷戈里·万尼尔，告诉了他。

「数字命理学」：说服导师之战

「机会偏爱有准备的头脑。」是的，这正是关键：我有一个有准备的头脑，格雷戈里没有。他说了什么呢？他说：「这是数字命理学（numerology）。」他说：「你可以做一篇文献综述型的论文。」我问什么叫文献综述型论文，他说，就是把别人的工作整理写出来。他说，你显然不可能靠你现在做的这些东西拿到博士学位；不过如果你坚持，可以把你的数字命理学放进附录。

我很受伤，但没有气馁。我继续工作，独自一人。

还有一件事。当时我的三十岁生日快到了，我给自己下了一道最后通牒。我非常在意说服格雷戈里，这显然是必须的，他是我的导师。我想给出一个数学证明，证明G图由自身的副本组成。我对INT做到过这一点，所以我想也许对G图也能做到。我抱着希望，但没能做到。我极其努力地尝试，却毫无进展。

然后我们回到了尤金。在尤金又发生了一件惊人的巧合。我路过拉斯·唐纳利（Russ Donnelly）的实验室，他是俄勒冈大学一位非常优秀的低温物理学家。我看见一台熟悉的惠普台式计算机放在那里，这次还配了绘图仪。我问他能否用一下，他说可以，反正没人用。古斯塔夫当年也是这么说的。那个年代的物理学家不用计算机，我不知道他们为什么要买，因为买了也不用。于是我用上了它，让它计算多得多的数值，并用绘图仪极其精确地画出来。这就是1975年5月出来的图，一张令人震撼的图。

格雷戈里很喜欢这张图，但他仍然认为我的想法是胡说八道。他丝毫不相信这一块是副本，那一块也是副本。你们大概能看到这里的四条空隙，那些白色的缝隙，它不像那个吗？不像吗？你们看得出来。可他看不出来，他一刻也不相信。

于是我做了这么一件事。我知道下面这里有一个很小的副本，处在一个奇怪的角度，形状是个奇怪的梯形。我取了这一块，它内部应该包含一个副本，位置在1/7和1/6之间，回到这张图上大概在这附近。我把这个小梯形里所有的值都算出来，然后做了我称为「矩形化」的处理：把它变成一个矩形，把变形还原。这就是结果，那个小结构里面装的东西。我把它拿给格雷戈里看，他眼上的鳞片一下子掉了下来，他说：「我的天。」1975年8月，他转变了立场。我对自己说：我要拿到博士学位了。那对我来说是极为激动人心的一刻。

康托集与抹平：调和数学与物理

我们看过了有理数，那么无理数呢？对于有理数p/q，我们有q条能带；对于无理数，应当看成p/q，只是p和q都是无穷大的整数。于是应当有无穷多条无穷窄的能带，那就是一个康托集（Cantor set）。

如果你不知道这个术语，我来演示一下。从一个区间开始，比如说[0, 1]，去掉中间的三分之一，再对剩下的两段各去掉中间的三分之一，不断去掉中间三分之一，无限重复。最后剩下什么？还剩东西吗？是的，剩下所有没被去掉的端点，那是一个不可数集，一个非常大的无穷。但它不包含任何区间，所以测度为零。从某种意义上说它没有重量：如果原来的区间重一公斤，康托集恰好重零，却有不可数无穷多个点。

在每一个无理磁场值处，我们得到一个不同的康托集。康托集可以用不同方法构造，不必去掉中间三分之一，去掉别的东西也行，只要你不断在剩下的区间内部去掉东西，就会得到某种康托集。每一个无理磁场值对应一个不同的康托集。这就是我发现并写进论文的东西。

如何把这个古怪的数学对象与物理现实调和起来？想法是这样的：磁场并不是定义到无穷多位小数的。如果你取G图，把一个很小的ΔH（或者叫Δα，随你怎么叫）范围内所有磁场对应的能量取并集，也就是给磁场附上一点点不确定性，然后把这些磁场对应的所有能量值合并起来，那么你得到的图看上去非常光滑。我把它叫做「抹平的图」（smeared graph）。

1975年我去拜访了费曼，居然是费曼，在他的办公室里。我给他写了封信，他很愿意见我。他看到这张图时兴奋得不敢相信，立刻对秘书说：「把这个复印一份。」他非常激动。我向他讲了抹平的想法，他把它叫做「抖动」（jiggling）这张图。抖动得厉害一些，它就变成一个奇怪的黑色物体，不再有任何分形结构，完全连续，像一张点缀着小湖泊的地图，这些白色的小块可以看成湖泊，就像某个有湖的地区的地图。抖动得少一些，你会看到更多湖泊、更多细节，这是精度略高一点的图。抖动得更少，你就得到原来的图，那是零抖动。我把这张图放在了论文的第137页。物理学家都知道这个数字，精细结构常数的倒数。我忍不住加了这么一笔，我想这说明我毕竟还是个数字命理学家。

退出物理与蝴蝶的后世影响

不管怎样，我最终决定离开物理学。尽管有了这样一个可爱的发现，我并不认为这种事会再发生一次。我把论文的一份复印件送给了费利克斯·布洛赫。他听说这件事之后说：「这里有两个自然频率，一个来自磁场，叫回旋频率；一个只来自晶体。两个不同的频率。」我以前从没这样想过。我把它们写下来，发现它们的比值恰好是α：两个相互竞争的周期。费利克斯的话让我想起了η序列，于是我又回到了原点。所以说到底，我拿到的其实是一个数论博士学位，尽管我从伯克利退了学。现在我做的是自己热爱的东西，我要漂亮地退场。

G图表明数论与物理学密切相连，与康托集以及其他东西相连；它还表明拓扑学与物理学密切相连。这些都是人们此前未曾料到的。我把文章投给《物理评论》时收到一份审稿意见，上面写着：「我觉得这篇论文写得令人愉快，几乎像一首莫扎特的嬉游曲。」请原谅我用这个说法：这当然是「悦耳的音乐」。写这句话的是一位著名物理学家。二十年后我在某处做报告，他走过来自我介绍，说：「你还记得有人在一份匿名审稿意见里写过那句话吗？」我说当然记得。他说：「那是我写的。」他叫莱奥·法利科夫（Leo Falicov），阿根廷固体理论家，一位非常杰出的人物。我深感荣幸。

但我还是选择了退出。为什么？我找到了这个非常美妙的东西，但我不认为它会再发生一次，那么不如在荣耀的光芒中退场。

从那以后，G图开始出名。我从来没想过G图会出名，我只把它看作我的道路，通往博士学位的道路，是它让我拿到了学位。但八十年代人们开始探索它，数学家们跳了进来，还改了一些术语。「每一个无理α对应的能谱是康托集」这个想法，他们没有归到我名下，尽管我在博士论文、《物理评论》的文章，甚至在《哥德尔、艾舍尔、巴赫》三个地方都说过它是康托集。他们完全无视这一点，把「无理数对应的能谱是康托集」这个假说归于马克·卡茨（Mark Kac），因为他在美国数学会的一次会议上做过相关演讲。他们也不叫它哈珀方程，而叫「殆马蒂厄方程」（almost Mathieu equation）。2009年，两位数学家阿维拉（Avila）和吉托米尔斯卡娅（Jitomirskaya）证明了哈珀能谱对所有无理α都是康托集。2014年，阿维拉获得菲尔兹奖，部分正是因为他在这个能谱上的工作。这也说明了我作为一个研究生为什么没能做到：这是一个非常、非常困难的问题。

世界各地的物理学家也踏上了一场盛大的远征，探索这个主题的各种变奏。比如这一张是克拉罗（我的好友弗朗西斯科）和万尼尔算出来的，万尼尔没做计算机的活儿，是弗朗西斯科做的，但两人一起写进了论文：六方晶格的蝴蝶。三角晶格的蝴蝶。某种二硫化钼晶格模型的蝴蝶。惊人的结构，但它们都有一个深刻的共同点：由自身的副本嵌套而成，无穷多层，变形的副本。某种「EEB」结构的蝴蝶，我也不知道那是什么。笼目（kagome）晶格的蝴蝶，我也不知道那是什么，但我想kagome的意思是篮子。八边形-鸭形（octagonal-duck）铺砌的蝴蝶。如此这般，没完没了，你能找到蝴蝶的各种变奏。同时加有磁场和电场的蝴蝶。

然后，1980年量子霍尔效应被发现了：一种非导体呈现出量子化的电导。这是谁也没有预料到的。结果表明，蝴蝶与它密切相关。我先前给大家指出的那些能隙，这里我把图转了九十度，其余完全一样，只是把能隙涂上了颜色。这些能隙可以用一种数论的方式标上整数，涉及丢番图方程，这里我不展开。这些整数叫做陈数（Chern numbers），它们恰好对应于量子霍尔效应，也就是整数量子霍尔效应中的电导台阶：这个能隙对应这一级，这个能隙对应这一级，这个能隙对应这一级，如此等等。蝴蝶身上竟有这么多奇妙的关系，我当年当然一点也没料到。

乔治·梅森大学的物理学家因杜·萨蒂亚（Indu Satija）甚至宣称，蝴蝶是霍尔效应的家，天然的家。她写了这本书，寄给我的时候还不是出版的书，而是手稿，她请我写点东西，讲讲我对发现G图的回忆。我写了，成了她这本书的序言（书上写着「附霍夫施塔特撰稿」）。她在书里谈到G图与各种各样的东西之间的联系，那些我全然不知道：阿波罗尼奥斯垫圈、贝里相位、玻色–爱因斯坦凝聚、陈数、马约拉纳费米子、量子霍尔效应、准晶、重整化群、拓扑绝缘体、阿贝尔与非阿贝尔任意子，等等。她还谈到最近几年人们如何尝试用实验来确认这个结构，确认实际观测到的结构与预言完全一致。人们发展出了各种巧妙的实验技术来验证它，已经验证了一部分，虽然不是全部。可惜这一切都远远超出了我的理解，我四十多年前就离开了物理学。但知道它带来了这一切，还是很欣慰。她的书里有许多美妙的东西，如果你们对此感兴趣，我建议看一看。书里还收了很多诗，包括我写布洛赫和万尼尔的那两首打油诗。

最后，我想以一首我写的诗来结束，讲的是我发现G图的经历，题目叫《G图之恩》。大意是：如果一块晶体被磁场的力线穿过，世界会得到怎样的能谱，自然会给出怎样的能量？原来事情的关键全在磁通是多少：p/q给出q条能带，非有理数则给出康托集。物理学家听了会说这是数字命理学，可一旦看到G图，谁都会承认晶体里潜藏着深邃的魔法。这颗宝石是我凭运气找到的，所以说：若非G图之恩，我也不会走到今天。

谢谢大家。

问答：运气、准备与父亲的身教

关于「理智与生存协会」和《哥德尔、艾舍尔、巴赫》。 我明白你的意思。从某种意义上说，后来成为《哥德尔、艾舍尔、巴赫》的那本书，比物理研究更像我自己。事后看，你说得对，某种意义上我更需要那本书，而不是物理。但我需要一个……我在找那个词，某种通行证。我必须拿到博士学位。如果我没拿到博士学位，我会变成什么？我不知道。我说这话是很认真的，你提出了一个非常严肃的问题。每次回顾人生中的那段时期，我都会问自己：如果格雷戈里·万尼尔当时不在俄勒冈大学，我会怎么样？我肯定拿不到粒子物理的博士学位，我对粒子物理已经彻底厌倦了。老实说，我觉得我在任何一个物理学分支都拿不到博士学位，除非它以某种神奇的方式与数论挂上钩。所以我只是运气好得不可思议，在很多方面都走运：万尼尔在那里，教研室里有那台计算机，拉斯·唐纳利办公室里有另一台计算机，当然还有我六十年代做过数论。所有这些运气都令人惊叹。如果我没拿到博士学位，我真不知道自己会做什么，因为当教授是我人生中不可动摇的绝对目标，而我必须有博士学位。

所以我意识到，我拿到博士学位的钥匙就是做这个该死的问题。那时候我并不觉得自己在做一个将来会激动人心的问题，我只知道那是我必须做的问题。所以我说：把那份该死的手稿收起来，做这个该死的问题。这非常困难。这里的「理智」（sanity）指的不是精神上的正常与否，它的全称是「D.H.理智与生存协会」，指的是某种智识上的生存。不过你说得对，我一拿到博士学位就立刻回去写书了。

关于对整数的兴趣从何而来。 我一直对整数感兴趣。我告诉你一件事，我记得小时候的一个发现，不知道当时几岁，但很小。我喜欢平方数，喜欢各种幂，当然背了很多幂，熟悉三的平方是九、五的平方是二十五这类简单的东西。有一次我把九和二十五乘起来，得到二百二十五，我认出它也是个平方数，非常激动。我看它是谁的平方，是十五的平方，我想，天哪，十五是三乘五，太神奇了：三的平方乘五的平方等于三乘五的平方。我以为自己是个开拓者，以为找到了某种魔法。所以是的，我从很小的时候就对整数感兴趣，这可以追溯到非常非常早。谢谢你提起这个。

关于是否有老师引导。 我当时十五岁，还是高中生。不过我有一个和我同岁的朋友教我编程。一年后我十六岁去了斯坦福，在数学系有一位导师，戈登·拉塔（Gordon Latta），数学教授，一位才华横溢、极其出色的老师。我会定期去戈登·拉塔的办公室，他总是欢迎我，我给他讲我发现的东西，他总是那么温暖、那么欢迎。这对我的人生产生了巨大的影响。所以如果你问是否有一位老师起了作用，那不是我的高中老师，虽然我和他关系很好，而是我在斯坦福最喜欢的那位数学老师。

关于那件衬衫。 是的，它有四十多年了，我说不上是在哪里买的，但我今天当然是特意穿的。

关于对自然之美的信念。 是的，我相信美。正如我在开头第二张幻灯片上说的，我相信自然的美与简洁，这是我父亲灌输给我的。他不是靠说教，也不是靠往我脑子里硬灌，而只是在他做的每一件事里展现出对自然之美的热爱，这种热爱就自然而然地传给了我。我想这是一个很好的收尾问题。非常感谢大家。