ICM 2026 Public Lectures - Terence Tao

本文为 2026 年国际数学家大会（ICM）公开讲座的现场实录。主讲人是加州大学洛杉矶分校数学系杰出教授、James and Carol Collins 讲席教授陶哲轩（Terence Tao），2006 年菲尔兹奖与 2014 年科学突破奖得主；开场致介绍词并主持本场讲座的是 Alex，讲座中「正典化」（canonicalization）这个说法即由他提出。陶哲轩在这场讲座里没有去论证 AI 到底能不能做数学，而是先假定它能，再追问：那么数学共同体的目标与价值究竟是什么。全文依据现场录音编译整理，仅删去口语枝节、寒暄与重复，论证、例证与语气一概保留。

开场介绍

主持人： 欢迎各位来到国际数学家大会公开讲座。今晚由我来介绍我们的主讲人陶哲轩，这对我来说是极大的荣幸。陶哲轩在普林斯顿大学师从 Eli Stein 获得博士学位，此后前往加州大学洛杉矶分校，一直任教至今，现在是该校数学系的杰出教授，以及 James and Carol Collins 讲席教授。如果我试图把他所有的研究成就和荣誉列一遍，我们今晚就都耗在这儿了，你们一个字也听不到他本人说话。所以我只提一句：他在此前的一届国际数学家大会上获得了菲尔兹奖，此外还有科学突破奖，以及许许多多其他奖项。讲座结束后我们会留出提问时间，有十分钟的问答环节，地点在外面右手边的前厅。现在，请和我一起欢迎陶哲轩教授。

陶哲轩： 谢谢，非常感谢。能够再一次亲身参加国际数学家大会，我实在高兴。距离上一次已经很久了，这几天我见到了许多老朋友，也一直在吸收这里的正向能量。

我今天要讲的，大概就是眼下所有人都在谈的话题：人工智能的时代，以及它对数学意味着什么。我们似乎正生活在一个剧变的年代，而这一点我们可能并不习惯，因为数学在过去一个多世纪里一直非常稳定。我们没有遇到过真正意义上的生存性危机，可现在，一切忽然开始大幅改变。

这看起来是前所未有的。但我认为，我们正在经历的事情，其实是有历史先例的。

一百年前的危机

陶哲轩： 作为一段引子，我想先讲讲一个世纪前发生的那场基础危机。

在二十世纪初之前，数学家的工作方式是半形式化的。我们有欧几里得，我们知道什么叫证明，但我们并没有把逻辑、集合、分析的基础彻底公理化，很大程度上用的是一套朴素而非正式的基础。像「集合到底是什么」「数是什么」「函数是什么」「极限是什么」这类问题，我们有一些规则，可是从来没有把这门行当的全部规矩完整地写下来。

这套做法一直管用，直到二十世纪初。当时只有哲学家在认真思考这些问题，而正是他们指出，朴素的做法其实藏着严重的毛病。比如哲学家伯特兰·罗素指出，朴素集合论是不相容的：你可以构造出一个集合，它既包含自身又不包含自身。当然还有哥德尔的不完备性定理：不存在任何一套公理系统，能够把你在算术里能提出的所有问题统统证明或者证伪。

于是我们被迫真正地去思考自己的基础，去追问什么是证明，我们这门职业的规则到底是什么。那个过程是创伤性的，它被称作基础危机，充满动荡，争论不休。

但我们最终从中得到了非常宝贵的东西：一套做数学的标准框架。我们有了一套正统的规则，一阶逻辑，策梅洛-弗兰克尔选择公理集合论（ZFC），它是标准化的，而且我们达成了共识，认为它足以支撑几乎全部的数学。这当然不是最终结论。人们仍然在研究别的基础，把它们与 ZFC 作比较。举个例子，Lean 这个形式化证明助手所依据的并不是 ZFC，而是依赖类型论。但这没有问题：我们研究别的基础，并不是站在危机之中去研究，而是像研究任何一个科学或数学对象那样去研究它。这些基础经受了几百年的严苛检验，我们信任它们。理论上当然仍有可能，这些基础里藏着某个严重的问题，可它们看上去是管用的，而且已经管用了一个世纪。

这一次危机在价值

陶哲轩： 我要提出的论点是：那场危机过去一个世纪之后，我们正在进入一个同样动荡的时期。顺便说一句，在座如果有人喜欢在文本里挑长破折号，我要强调，这一页幻灯片上的那个长破折号是人手打出来的。

但这一次，危机不在我们的数学论证里，而在我们的数学价值和实践里。我们此前一直是在一套朴素的基础上运行的，也就是关于「数学究竟是什么」的朴素理解。而突然之间，这套朴素基础推导出了一些相当古怪的结论。我们确实需要重新审视它，把它认真地重建一遍。同样，这会是一次非常值得的经历。一旦做完，我们这门学科会健康得多，也韧性得多，我们才能够把这些新技术妥当地吸纳进来。

那么我这场演讲的主题是什么？我可以把驱动一切的那个大问题，叫作「共同体回应之问」：面对现代 AI 技术以及随之而来的种种事物，数学共同体应当如何回应？何况这些技术已经具备，或者声称具备完成数学任务的能力。

这是个大问题，而且是整个共同体的问题。没有任何人，哪怕是国际数学联盟，能够定下一套规则让大家照办。我们必须真正地辩论这个问题，就像当年必须辩论数理逻辑的基础一样。不过我确实有一些看法，可以拿来开个头。

这不是一道数学题。它不是一个猜想，不会有一个证明和唯一的答案。它是一个元数学的问题，同时也是政治问题、伦理问题、文化问题、经济问题，随你怎么归类。可是我认为，那种极其审慎、极其数学化地思考问题的心智习惯，在这里非常有用。所以我打算用一种伪数学的方式来处理它：我会借用数学的语言来分析这个并非数学的问题。既然在座各位大多是数学家，我希望这样能把我想说的点讲得更清楚。

关于能力的猜想

陶哲轩： 我们关心的是共同体回应之问：面对 AI，我们该怎么做。而在它之下还有一个子问题，过去三年的争论几乎都被它占满了，虽然它其实是另一个问题。我把它叫作「AI 能力猜想」。既然说了要用数学的语言，我就把它称为猜想。严格说，它不是单个猜想，而是一族猜想。

我把它写成一个模板，里面有若干占位符，或者说变量，如果你愿意继续用数学的说法的话。因为变量太多，这个猜想几乎可以表达任何意思，但我还是把它念出来：在不久的将来的某个时刻，某些 AI 工具，以某种成本、在某种程度的人类监督之下，能够在数学的某些领域完成某些研究级别的数学任务，具有某种非平凡的成功率，以及某种程度的正确性与质量。

我在里面塞进了太多个「某种」，所以它几乎可以是任何东西。近年来大量的争论，其实已经退化成了在各个空位里究竟应该填进哪个「某种」。而这不是我今天要讲的。我认为这反倒把我们的注意力从一些更根本的问题上引开了。所以，就把它当成一族猜想。你当然可以把「某些」填成「极少数」，让它变得非常弱；你也可以把它填得非常强。各人可以在自己脑子里玩这个填词游戏。我下面只笼统地说这个猜想的强形式、弱形式和中间形式。

知道这族猜想的答案显然是重要的。比方说，如果连它的弱形式都不成立，也就是说这些工具对研究级别的任务基本无用，那就没什么可争的了：它们只是新奇玩意儿，一小撮人可以拿来玩玩，数学基本上照旧运转。反过来，如果最强的形式成立，我们今天所做的每一件事，AI 都能做得更好更快，那么显然，我们不可能一切照旧。尤其是当我们把注意力集中在 AI 最擅长的那些事情上时：解决未解决的问题看起来正是它们的强项之一，而这也正是我们大量投入的事情之一，我们甚至为此颁发奖章。那我们就不得不认真思考我们的文化和实践了。而如果真相处在中间地带，我们要想得更细。

正如我说的，你去看媒体上的争论，去听休息室里喝咖啡时的争论，去看网上的争论，会发现由于共同体回应之问的答案高度依赖于 AI 能力猜想的答案，绝大部分争论都落在了能力上。我自己当然也参与其中。回看过去三年，我谈 AI 谈得很多，其中很大一部分是谈能力，因为它确实重要。三年前有那么一段时间，AI 的能力很差，但趋势是会好得多，我们当时必须把「现在在哪里」和「技术正在往哪里去」这两件事区分清楚。不过今天这场演讲不谈这个猜想。

如果你上网，一定见过无数的宣称、反驳与争吵，围绕着这个猜想在各个强度上的真假。我们现在有很多数据点：某个特定问题被解决了；然后又有人说，这个 AI 连两位数乘法都做不对。可我们手上的绝大部分数据，并不是在恰当的科学条件下采集的。我们看到的是被选择性披露的结果，看上去很惊人，但我们不知道输入到底是什么，不知道真实的失败率是多少。而且许多披露这些结果的公司自有其动机，会尽可能把结果呈现得漂亮，同时略去一些重要信息，比如产出这些结果究竟花了多少钱。所以眼下这一整摊支持或反对该猜想的数据点，是一团非常令人困惑的乱麻。

还有一点：人们有时会把「这个猜想是真是假」和「我们希望它是真是假」混为一谈。而我认为，这两者未必是一回事。

一份可信的数据

陶哲轩： 所以我不会谈这个猜想。我唯一想给各位指出的是，我们开始有了一些更系统、更科学的 AI 能力评估。其中我认为最有前景的，是许多人都听说过的 FirstProof 挑战。

这是一项由数学家自发组织的努力，是对今天 AI 模型状态的独立评估，不由任何一家大型 AI 公司赞助。它的做法是：数学家们捐出一批十道研究级别的问题，这些问题的解答没有发表过，问题本身也没有发表过，然后拿它们去测试完全自主运行的 AI 模型。比如今年五月，一共有四套系统提交参测，我参与的团队提交了其中一套。测试的时候，他们不只问这些问题是否被解决了，还要问解答是否被写出来、被解释到了可以发表的质量：是不是真的合理拿去投给某本期刊的论文，也许只需要一点小修改。

据我所知，单套系统的最好成绩大约是十题中的五题，而四套合起来，能有七题达到可发表的质量水平，代价却不低：每套系统在每道题上的花费，从十美元到一千美元不等。这大致就是五月时的状况。他们会继续测试新的批次，这些数字也许会变，但我认为这是我们目前手上最科学的一个数据点。

一个条件性的假设

陶哲轩： 好，这个猜想我不再谈了。我要谈的是它的补集：假设这个猜想在某种意义上是真的，那么我们该怎么回应？

于是，像数学家惯常做的那样，我要提出一个假设。我把前面那一堆「某种」全部换成「合理的」：一个合理强度的猜想成立，也就是说，在合理可期的时间内，AI 将能够以合理的成功率、质量和成本，完成数学任务中合理的一部分。我不会定义「合理」是什么意思，各位可以在心里自行设定。

这是一个假设。在数学里我们常常提出一个不知真假的假设，但我们对它的推论感兴趣。我要做的是条件分析。你尽可以去争论这个假设是真是假，那不是本场演讲的重点，我只是有条件地采用它。

一旦你以此为条件，也就是接受 AI 真的能够解决我们今天作为数学家所做的相当一部分工作，那么有一件事就变得很清楚：要回答回应之问，我们现在必须去思考我们的目标和价值。我认为这才是今天真正需要讨论的问题，我说的「今天」不只是字面上的今天，而是我们所处的这个时期。

目标与价值之问

陶哲轩： 我把它叫作「目标与价值之问」：我们这个共同体，以及数学研究本身，精确的目标、任务和价值究竟是什么？

我们当然有明确的目标。发新闻稿的时候，写论文摘要的时候，申请科研经费的时候，我们会列出「本项目的目标是如何如何」。那些是显性目标。但我们正在发现，其实还有大量隐性目标，我们对它们谈得太少了。而现在，把它们谈清楚变得非常重要。

我来解释为什么。过去我们主要关注技术性的目标：我想改进这个常数，我想证明这个定理，我想找到一个满足某某性质的定义。至于价值、目标，以及「数学的意义是什么」这类问题，我们一向觉得那是人文学科的事，也许该由数学哲学家来处理，或者科学社会学家、数学教育家。我们也许过度地偏重了技术层面，因为那是我们最擅长的，而且在某种意义上更好操作，尽管数学本身往往相当艰难。

但我要说，如果你接受这个工作假设，我们就再也没有「不必把目标讲清楚」这份奢侈了。而且我认为这是健康的。无论这个假设是真、是假，还是部分为真，我都认为我们早就该谈一谈：我们为什么做数学，这门学科真正的意义是什么。谈过之后，我们只会更强。

那么，我们为什么做研究？我们为什么要去解决问题、探索数学概念？理由其实非常多，我不认为有谁列出过一张完整的清单，下面只是其中一部分。

当然，我们要解决尚未解决的问题，这很重要，既包括纯粹的问题，也就是在数学之外没有直接应用的问题，也包括许多重要的应用问题，那是数学非常重要的一种动力。我们喜欢发展新工具、新理论、新方法。我们希望更好地理解数学。我们希望理解我们周围的世界，世界充满了模式，正如我们在汉娜·弗莱（Hannah Fry）的讲座里看到的那样，而我们想理解这个世界。

但数学同时也是一门高度社会性的学科。我们对数学感到兴奋，很大一部分原因在于我们能把它传达给共同体的其他人。我们想建设这个共同体，我们想培养下一代，想让这个共同体延续下去。我们投入大量精力去提携和教育下一代数学家，而他们将做出我们做梦都想不到的事情。我们还拥有一个积累了几千年的数学知识库，这大概是这颗星球上持续发展时间最长、最具累积性的知识体系之一，而我们在为它添砖加瓦，这是了不起的事。此外还有审美价值，我们常常低估它，但它同样重要：数学是美的，你可以创造出让人欣赏几个世纪的东西，这本身就是一种价值。这份清单留个作业给各位，你们可以再添两条。

古德哈特定律

陶哲轩： 我们有这么多目标，可我们往往每次只讲其中一两个。直到不久之前，这样做都还算可以，因为这些目标是彼此对齐的。它们略有差别，但数学很难，我们离其中许多目标都还很远：解决问题难，构建理论难，什么都难。只要你离所有目标都很远，只要它们之间大体正相关，那么你朝其中一个目标推进，也就同时在朝别的目标推进。因为这种正相关，你可以只把一个目标说出口，让它充当其余目标的代理。你不必声明「我要做目标一，其实我私下里也想要目标二」，因为你知道，往目标一推进，你离目标二也会更近。所以我们从来不需要把所有目标都讲明白。

这一套一直管用，直到你开始大力优化，直到你在目标一上变得非常擅长。到了某个点，你在目标一上再往前走一步，实际上就在远离目标二、三、四、五。这个现象在经济学里非常有名，叫古德哈特定律：当一个衡量指标变成目标，它就不再是好的衡量指标。如果你为某个特定指标过度优化，代价就是你原本也想优化的那些别的目标。

对人类来说，这倒还不算太大的问题，因为人类并不那么擅长优化。但 AI 擅长，AI 公司也擅长，而这是一个危险的组合：AI 可以脱离现实的牵制去做优化，因而格外容易落入古德哈特定律的陷阱。

于是我们正在进入这样一个时期：我们的各个目标开始指向彼此竞争的方向。我认为 AI 尤其可能让我们更接近其中某一个目标，而代价是别的目标。所以我们再也承受不起每次只盯住一个目标的做法了。而对于我们确实要盯住的那些目标，我们必须非常清楚地说明，评判它们的标准到底是什么。这就是我们眼下所处的处境。

解题这件事

陶哲轩： 我没有时间把所有目标都讲一遍，所以我只挑其中一个来讲，而它恰好是近来吸引了最多注意力的那一个：解决问题。

在外部世界看数学的时候，我认为他们其实并不真的知道我们在做什么，但在他们看来，我们似乎特别痴迷于解决未解决的问题。所以我就来谈这个侧面。我要再次强调，这只是我们诸多目标中的一个，但我会把它拆解开来，单就这一个目标说几点。我们并不是全都在拼命多解题，许多数学家更愿意去构建优美的理论，或者去教育下一代，这些都是极重要的目标。我之所以聚焦于解题，是因为在这个工作假设之下，它是当下受 AI 冲击最大的那一个。

那么这里的目标是什么？如我所说，从外面看，数学的目标就是尽可能多地解决未解决的问题。我想起自己念高中的时候，完全不知道数学家可以是一份职业。等我知道真有这样一份工作之后，我脑子里的画面是：有某个资深数学家组成的委员会，会给大家分派问题，我们就像做家庭作业一样各自去做被分派的题目，整个体系就是这么运转的。当然事实完全不是这样。但外界的印象有时候确实差不多就是如此。

那么，还是用伪数学的语言。你可以把它看成一个流网络优化问题：我有一个问题的源，一个解答的汇，中间是证明生成的流，我们要做的是把从未解决问题到解答的流量最大化。

如果你真去优化这个目标，那么早在 AI 出现之前，我们就已经发现它有毛病。假如我们把目标定为「收集尽可能多的黎曼假设的证明」，很快就会明白这不是个好目标，因为你会收到大量对该问题的、并不正确的解答。好，这有个显而易见的修补办法：先生成证明，再检验它是否正确。于是我们的流变成了两步：从未解决问题出发，生成证明，得到未经验证的解答，然后经过一道独立的证明验证工序，得到已验证的解答。

而 AI 在这条流的第一步上已经变得非常好，不是对所有问题，但对某些问题相当不错；在第二步上也做得不错。事实上第二步的进展主要不是靠 AI，虽然 AI 有帮助，而是靠一项互补的发展：证明助手语言。那本身就是一个大话题，会有别的报告专门讲，那也是近年来另一项重要进展，证明助手语言的巨大改进。

所以看得见，在某些领域、对某些类型的问题上，数学中的证明生成和证明验证都加速了。不是普遍加速，但确实加速了。而如果我们以这个工作假设为条件，它还会继续加速。

证明需要被解释

陶哲轩： 但这带来一个新问题。设想现在 AI 在生成这些证明，甚至证明是用 Lean 这类形式语言写的，并且已经验证通过。我们于是有了一份十万行的证明，验证为正确，可是没有人理解它。哪怕是输入提示词把它生成出来的那些人，恐怕也不理解它。

这已经在某些领域发生了。也许你们听说过厄多斯问题库，那是一份大约一千二百道问题的清单，有些已解决，有些未解决。就在过去半年里，证明开始被生成出来，其中一些甚至被形式化进了 Lean，而没有任何人真正通读过它们，也没有任何人能为「这是一个好的证明」背书。很多情况下，连提交证明的人自己都说：这里有一个证明，但我没有资格评判它，我不知道它对不对。然后另一个人说：我在 Lean 里检查过了，可我同样不能替它担保。

这样的局面还没有完全出现，但我们已经非常非常接近这样一个场景：某个重要结果被证明了，被验证了，而没有任何人类能够理解它、解释它。那会是一个很不受欢迎的发展。

这意味着，我们的目标至少还要再加一个阶段。仅仅生成证明是不够的，仅仅验证证明也是不够的，证明还必须被解释到足够好的程度，好到能够被数学共同体传达和理解。它们不能只是一件件人工制品，一项项看上去很了不起、却不能引出后续数学的成就。它们必须被理解。所以我们需要产出写得好的解答。

目前，AI 虽然在加速前两个阶段，但在第三个阶段仍然相当弱。它擅长阐述的某些部分，不擅长另一些部分。举例来说，在最基础的层面，拼写、语法、格式，它们做得完美，甚至完美到人们现在反而更愿意读稍微有点瑕疵的文本。

但问题不只是拼写正确之类的技术层面。AI 写出来的东西，重点常常放得非常古怪。AI 生成的数学读起来很叫人抓狂：你想找出全篇最重要、最困难的地方，那往往才是一个证明里最有意思的部分，结果你发现，AI 会花整整三页去证明某个显然成立的平凡引理，然后用三行打发掉论证中真正有意思的那一段。

另外，它们往往不交代影响来自何处。这件事本身很间接：证明来自一堆权重，权重来自某些训练数据，某个先前的结果在某个环节间接地影响了这个结果。可这些 AI 生成的文本常常完全不透露这些关联从何而来。于是这些结果读起来，与文献的联系比它们本应有的要疏离得多。

也许这会变好。如果你假定 AI 能力持续提升，它们在阐述上确实在慢慢变好一点。但这件事更难，因为验证一个证明有清晰的信号，非真即假，你可以设定一个好的评分函数并加以优化，而这正是 AI 工具擅长的；至于一个证明写得好不好，我们还没有真正好用的评判标准。也许将来会有，也许证明会变得更容易读。

自然的摩擦

陶哲轩： 但那也未必是好事。有时候一个证明可以太过顺滑。如果你读过那种把所有困难都打磨得一干二净的证明，也许有过这种体验：整个证明看上去毫不费力，可你回家拿纸笔想把它复原出来，却做不到，因为它把困难藏起来了。

证明里其实有必要保留一点我称之为「自然摩擦」的东西。当一个人去证明某件事，有些步骤是容易的，他会一路滑过去，不在上面花太多时间；有些步骤是真的难，他会停下来，花些时间，仔细组织论证，设法不做多余的功夫。读者能感觉到这一点，能从中读出这个证明的难点在哪里。而 AI 呢，容易的地方它一冲而过，困难的地方它也一冲而过，看上去毫无分别。

而且吊诡的是，人在阐述中犯下的错误，有时反而能帮到读者。这听起来矛盾，但确实如此。

我举一个我自己的例子。这是我手里的一份论文复印件，让·布尔甘（Jean Bourgain）1991 年的文章，我读研究生时读的，讲的是 Kakeya 猜想和限制性猜想。事实上，昨天报告中王虹的工作，有很大一部分正是建立在这篇论文之上。对于从没读过布尔甘论文的人来说，那是一次极具教育意义的体验。

我到今天还留着我研究生时代自己做的批注。他会写「显然可以这样做」，或者「这个陈述本质上等同于那个陈述」，而我在旁边打满了各种气急败坏的问号。你们大概看不清，但这里有一条批注写着：我恨让·布尔甘。

我硬是杀出了一条路。我很幸运，Eli Stein 给我讲解过其中一些，Tom Wolff 也讲解过，最后我明白了他在做什么。我终于摸到了他思考的方式，也终于明白，那些在我看来并不等价的东西，为什么在本质上就是等价的。我学到了太多东西。以至于几年之后，比起所有别人的论文，我更愿意读布尔甘的，因为我懂得他的头脑是怎么运作的，他总是直取要害，读起来是一种享受。但这中间确实有一个学习的过程。我想，如果他的证明先经过许多层 AI 的润色，我大概就得不到我当年得到的那份教育了。

所以这不只是把论文写好的问题，而是真正消化和理解结果的问题。比尔·瑟斯顿有一句著名的话正是这个意思：尽管表面上看去如此，我们并不是在完成某种抽象的生产定额，不是在拼定义、定理和证明的产量。我们真正在推进的，是人类对数学的理解。

最稀缺的资源

陶哲轩： 那么假设一个证明写得非常好，保留了全部的自然摩擦，任何人读了都能有所收获。这还是不够。

一个结果若要真正影响数学未来的发展，它必须被共同体接受和看重。别的数学家必须真的愿意去读它、消化它，把它放进自己的工作里。当然，让它正确、让它好读，是有帮助的，但这些只是必要条件，并不充分。这有点像做菜：你可以做出一桌漂亮的饭菜，香气扑鼻，所有食材都验证过可以安全食用，可你不能逼别人吃，你也不该逼别人吃。吃不吃是他们的选择。所以你必须去说服别人，这个结果值得一读。

在很近的过去，这都还不成其为问题，因为证明是稀缺的。某个结果一旦被证出来，这个领域里的其他人自然会放下手头一切去读那篇论文，他们有充足的动力。就像食物稀缺的时候，端上桌的东西你都会吃。可现在我们被证明淹没了，多到超过我们能审读的量，我们不得不挑挑拣拣。于是我们需要被说服，才会去读一个证明。证明的审读，如今成了这个新时代里最宝贵的瓶颈之一，一种稀缺资源。

你可以设法吸引别人来读你的工作。讲一个好故事是有用的：给出叙事，展示过程，说明你是怎么走到这个结果的，哪些路走不通，你又是怎么绕过去的。人是爱听故事的。我们过去不强调过程，只让结果自己说话。这一套一直管用，直到我们找到办法，可以不经过程而自动产出结果。

而当下的这些工具，对自己的过程极其不透明。有所谓的思维链，你可以稍微掀开引擎盖看一眼，但那并不怎么有启发性。也许这一点可以靠好的实践习惯改变。可眼下，尤其是当这些证明来自专有模型或者内部模型，而公司又有动机把某些事实当作商业机密的时候，我们就是看不到过程。这真的让我们大大降低了投入时间去了解它们的意愿，因为我们看不到那个故事。

审稿人与期刊

陶哲轩： 所以解题这件事还有第四个阶段：不只是生成证明、验证证明、解释证明，它们还必须被接受。

在我们现行的体系里，让一个结果被共同体接受的标准途径，是发表在一本有声望的期刊上。它必须被数学共同体消化和接受，而我们为此建立了一整套制度：我们有期刊。但它慢。你可以去推动它，可以把论文写得更有胃口，可你没法靠 AI 来优化这一步，因为它牵涉的是人的反应。除非你想办法把人接进 AI 里去，而这我实在不推荐。所以这是流程中慢得多的一段，也是 AI 目前基本上没有产生影响的一段。这里仍然是人对人说话，才能换来那份接受。

现在的做法是：一篇论文验证完毕，够格投给期刊，我们就把它送到一位人类审稿人手上，而他自愿贡献时间，把审稿当作一种服务。他们审稿，不只是因为结果有趣，也是因为想鼓励作者成为更好的数学家。这是提携新一代数学家的方式之一。这份工作没有荣耀可言，我们刚刚为解决问题颁出了四枚奖章，可我们没有为审稿颁出四枚奖章。但它是我们这门职业不可或缺的一环，正是它把数学家个人的成就转化为集体的理解。审稿人只是一种代理，真正的机制是我们互相阅读彼此的论文，学科就是这样往前走的。

但它慢，而我们正面临一场危机：AI 生成的论文如此之多，哪怕它们都是正确的，也可能多到审稿人读不过来。这是一个持续存在的问题，我想会有别的论坛专门讨论对策。我认为期刊也将不得不开始采用 AI 工具做初筛，各刊将不得不把风格指南和各类规则规定得精确得多，好让任何一篇论文在到达人类审稿人之前，先经过一层额外的评估。这会有争议，但我认为是必要的。不过我们绝对不该把人类审稿人从流程中拿掉。我不认为一本纯粹依靠 AI 审稿的期刊会成功，尤其是因为这类工具相当容易被钻空子。如果有本期刊宣布，这篇论文已被一百位 AI 审稿人接受，那并不是共同体的接受，那仍然不意味着我们想读它。

正典化

陶哲轩： 那么这就是我们的最终目标了吗？连这个都还不是真正的终态。

哪怕一个结果已经被共同体接受，已经发表在有声望的期刊上，所有人都认可它是正确的，这仍然不是终态。终态是这样的东西：教科书，我们在课堂上讲授的材料。这个概念的标准定义是什么？各个结果应当按什么顺序来证明？如何把发表在好刊物上的一个个孤立结果，组织成一套融贯的理论？那才是数学最终抵达的状态，才是我们试图解决的所有这些问题的终点。

给我做介绍的 Alex 为此起了一个很好的名字：正典化（canonicalization）。

所以除了消化一个证明、发表一个证明之外，你还要让它成为正典。而这是所有阶段里最慢的一个。过去十年、二十年里有非常多的结果，登在最好的期刊上，却还没有进入教科书，还没有被教给学生。我们还没有找到真正确定的、正典的、正确的方式去讲授这些东西。这个过程很慢：你得去开课，得收集反馈，得非常用力地去想，究竟该怎样把大量彼此不同的结果组织起来，纳入一条融贯的叙事线。而且它需要共识：如果一个领域里有一半数学家觉得应该这么讲，另一半觉得应该那么讲，那就谈不上正典化。

而这恰恰是 AI 基本上完全无能为力的阶段。我几乎看不到 AI 在这一段流程里有什么角色。可它是最有价值的一段。如果你想把数学的某个子领域应用到数学的别的领域，或者应用到某个实际问题上，它基本上必须先被消化成这种形态。你要让一个数学分支对工程师、物理学家、生物学家有用，他们是不会去翻《数学年刊》上最新的论文的，他们要的是教科书。

数学最有价值的那些应用，只有在抵达这个最终阶段之后才被解锁，这里面也包括 AI 自身。AI 之所以在数学上如此成功，一个很大的原因，正是几个世纪以来我们一直在建立这些正典的定义，我们有讲线性代数怎么运作、群论怎么运作的教科书，我们有大量非常成熟的理论。AI 把这一切都吸收了，它靠的正是这些东西才取得成功。所以如果我们把流程的这一段切断，长期来看，受伤的是数学本身。

那么，也许这才是最终的目标：解题真正的目标，不只是生成证明，不只是验证证明，不只是解释证明，也不只是发表证明，而是把所有这些证明组织进一个正典的状态，让它们成为定本。最后这三个阶段，我喜欢称之为「证明的消化」。这不只是把食物做出来，甚至不只是把它吃下去，你还得把它消化掉，内化到它真正成为数学身体的一部分。

消化不良

陶哲轩： 这个过程有可能还会继续延伸下去，不过我能识别出来的是这五个阶段。你们可以看到，「把目标讲清楚」这个动作本身，就能把你带到离你原本设想的流程很远的地方。

而这番拆解揭示了一件事：既然刚才那一整套是「证明的消化」，那么 AI 正在大量制造的，就是我称之为「证明的消化不良」的东西。如果你是电气工程师，也许会叫它阻抗失配。

因为 AI 在前两个阶段远远强于后三个阶段，我们已经开始看到各式各样的消化不良。我们看到未经验证的证明在堆积。我们看到已验证却没人会去读的证明。我们看到可读、却没有人愿意发表的证明。还有一件事尚未发生，但只要往下推演就会到来：很快我们还会有一大堆已发表的 AI 生成的证明，而没有人知道该如何把它们转化成像样的教科书，去教育下一代。

这些都是过剩带来的问题。粗略地说，世上的问题可以分为稀缺问题和过剩问题。以食物为例，饥荒和营养不良是食物稀缺的问题；而肥胖、缺乏运动、饮食结构糟糕，这些是食物过剩的问题。我们在证明稀缺的时代里生活了好几个世纪。但如果相信这个工作假设，我们很快就会进入证明过剩的时代，我们必须适应。在食物这件事上，我们的适应方式是变得对吃什么、怎么运动有意识得多；我们的品味提高了，我们的烹饪变好了，我们拒绝掉一些技术上能吃的东西，我们不会把盘子里的每一样都吃完。我想，在数学里我们也得做类似的事情。

莱顿宣言

陶哲轩： 一旦你对自己的目标有了更清楚的认识，你才能开始制定方针，才能真正去攻这个共同体回应之问。

作为一个起点，很多人已经听说过：去年在莱顿，一群数学家在一场关于 AI 与数学的研讨会上意识到了这些问题，发起了一项自下而上的行动，试图形成一份共识声明。他们邀集了共同体的许多成员，包括在座的许多人，共同起草了如今所谓的莱顿宣言。

这份宣言并不能解决这些问题，但这正是我们需要继续多做的那类事情。它陈述了当下的处境：AI 在做什么，数学在做什么，数学究竟是关于什么的，至少陈述到共同体中相当大一部分人能够认同的程度。它有非常多的签署人，我自己也签了。而一旦你理解了共同体的目标与价值，一些切实的建议就会自然浮现出来。如果你还没看过，我真心建议去读一读这份宣言。它经过了很多轮修改，许多人提供了反馈，现在已经是一份相当不错的文件了，里面有大量建议。

比如对个人的一条建议：始终披露 AI 工具的使用。也许将来这会变得没有必要，就像我们今天不会再声明自己用了 LaTeX。但在当下这个阶段，我认为这非常重要。尤其是有一种局面是我们无论如何要避免的：所有人都在偷偷用 AI，没有人披露，没有人分享自己的最佳做法和踩过的坑。那对于摸索出如何正确使用 AI，将是极其有害的。所以我们真的需要把负责任的披露变成常态。

本着这一点，我要说明：这些幻灯片里我用了 AI，不是用来打长破折号的，而是有几处自动补全很有用，另外你们看到的那些示意图是我用 AI 生成的。其余的文字都是我自己写的。

我们还必须让审稿人的日子好过一些。我们不能一边用 AI 生成大量一百页的证明，一边把它们全倒给审稿人。我们得让这件事容易得多，负担会转移到作者身上：作者有责任把论文写到最高的阐述标准，披露所用的全部工具，在需要的地方使用形式化。

而总体上，我们要把重心从流程的第一阶段挪开。过去我们强调的是，最要紧的是抢先证出一个定理，也就是证明生成，那才是主任务，其余都是收尾清理。现在我们把第一步自动化了，它不再是瓶颈。所以，一个已经生成、却还没有整理干净、还不具备可发表形态的证明，我们应当只把它当作一个不完整的证明来看待，尚未准备好发表。我们真的要开始重视证明的消化。最后那三个阶段，阐述、发表和正典化，我们现在也是看重的，但我们应当更明确地把它们的重要性提上来。

署名的门槛

陶哲轩： 我们还需要恰当地归属贡献。现在有一个争论：如果你按下一个按钮，得到了一个证明，你有没有资格成为那篇论文的作者？莱顿宣言对此有所论述。

我个人的建议是：如果一位作者没有能力像我现在这样站在台上讲这个结果，也没有能力就他所生成的这个结果接受提问，那么他不应当成为作者；或者至少，除非有至少一个人能够把这个结果讲清楚，否则这篇论文就还不该发表。

其余的一切

陶哲轩： 我刚才只是拆解了一个方向。我画了那张数学各种目标向四面八方分叉的图，然后我挑了其中一支，解决问题。我要说明的是，它远比「尽可能多解题」那种朴素图景复杂得多。但你可以把它拆开，可以弄清楚我们究竟在做什么，那样这一面就清晰了。而这也会反过来影响一些具体问题：期刊该如何运作，未来招聘时我们该如何评估解题这项能力。

可我们在乎的目标还有很多，而这个工作假设最终会波及它们全部。所以，我刚才对解题所做的事，别人也需要对教学去做，对指导学生、对招聘、对经费申请、对科普去做。我们这门职业的每一个方面都应当摆上台面来讨论，都需要分析。那是一场漫长而庞大的讨论，我只剩十分钟，所以这些我一个都不讲了。

而针对职业的不同部分，回应也会不同。我认为有些部分我们基本上必须限制 AI，尤其是教育和训练。过早地让学生大量使用 AI 是有害的，他们需要先发展出自己内在的数学能力，然后才能学着去使用这些工具。就像我们先教算术再教用计算器，就像我们先教人走路和跑步，再把车钥匙交给他。数学里也是一样。

另外一些地方我们应当使用 AI，但我们要掌握主动，由我们自己来决定哪些用法可以接受、哪些不行，而不是让外部的力量替我们定规矩。还有一些地方，期刊这类传统载体已经不适配这种新的工作方式了，我们确实需要创造新的流程、新的基础设施。那又是一场一小时的报告，可惜今天没有时间讲。

但最重要的是，我们真的需要公开地讨论所有这些问题，不能只是被动地接受种种发展。我们需要讨论 AI 的能力，需要讨论我们的目标与价值，需要讨论共同体的回应。这也正是莱顿宣言的一项主要建议。

我就讲到这里。非常感谢各位。