INCOMPLETENESS: The Proof and Paradox of Kurt Godel, Dr. Rebecca Goldstein, Harvard

编者按：本文整理自美国哲学家、小说家丽贝卡·戈德斯坦（Rebecca Goldstein）的一场公开讲座，主题是她的哥德尔传记《不完备性：库尔特·哥德尔的证明与悖论》。戈德斯坦曾任教于哈佛等校，是麦克阿瑟天才奖得主。讲座前半部分为主讲，后半部分为现场问答，听众先后就除零、哥德尔句能否作公理、哥德尔与爱因斯坦的谈话、自指的应用、精神疾病与天才等问题发问。本文依据现场录音编译整理，仅删去口语枝节、寒暄与重复，论证与细节悉数保留。

普林斯顿街头：爱因斯坦与哥德尔

戈德斯坦： 谢谢加里这段让我难为情的介绍，也谢谢各位今晚到场。走进这个地方我很激动，看到自己的名字挂在门口的招牌上倒不怎么激动，但看到库尔特·哥德尔（Kurt Gödel）的名字挂在那里，我是真的激动。

请各位先想象这样一个场景：一条绿树成荫的路，在新泽西的郊区。树后面藏着几座气派的老宅，榆树那边是一片乡村俱乐部的高尔夫球场，绿茵如毯，远远传来男人们击球的低语声。两个男人沿着这条安静的街道散步，一个年长，一个年轻，用德语低声交谈，谈得很投入。在我们所说的这个年代，也就是二十世纪四十年代，这条街上能听到德语、匈牙利语、波兰语、俄语，一点也不稀奇。

因为这条街在新泽西的普林斯顿。这里不仅有一所伟大的大学，还有当时刚成立不久的高等研究院（Institute for Advanced Study）。四十年代，研究院刚从普林斯顿大学校园里那座哥特式老楼搬出来，那座楼其实是老物理楼，爱因斯坦曾在里面工作过。当时有一篇剪报，称研究院是「知识分子的天堂」。它搬进了自己的独立校区，福尔德楼（Fuld Hall）至今仍是研究院的一部分。

为什么普林斯顿挤满了说德语、匈牙利语和其他语言的人？因为许多学者正在逃离这样的场面：这张照片摄于维也纳大学，讲台上的讲师正在行纳粹礼，台下的学生全都在行纳粹礼。我等一下要讲到的一个人，刚刚离开的就是这个地方。逃离这种场面的学者、科学家、数学家太多了，以至于一位教育家说：「希特勒摇树，我来捡苹果。」而两枚最上等的苹果，此刻正走在这条路上。

走近看，年长的那位各位当然认得，他就是当时普林斯顿最著名的居民，那个生前就已被神化为「天才」本身、天才之化身的人。镇上的人干脆把这个新研究院叫做「爱因斯坦研究院」。可年轻的那位是谁？这两个人每天从研究院走回镇上，天天一起走回家，旁人看着他们，猜他们在聊什么。不管什么天气，他们总是谈得很深，这张照片是冬天。爱因斯坦说过这样一句话（原文是德语）：「我自己的工作，到了人生这个阶段，对我已经没有多大意义了。我每天去研究院的办公室，只是为了享有和哥德尔一起走回家的特权。」

那位年轻人就是库尔特·哥德尔。由于他本人和他的工作都离大众很远，他当时不如、现在也不如他的散步伙伴阿尔伯特·爱因斯坦有名。但我今天想讲的是，他的工作以自己的方式带来了一场革命，我不敢说「同样」革命，但确实极具革命性，震动了他所在领域的根基。这个领域不是物理，而是数学。

新千年之初，《时代》周刊评选上一个世纪最重要的一百位思想家、艺术家，哥德尔入选了最重要的科学家与思想家之列。我念一下他们写的评语：「库尔特·哥德尔把数学的镜头转过来对准数学自身」，这句话什么意思，我们今天要谈；「由此发现了著名的不完备性定理，一桩打进了形式主义的心脏」。写得很有戏剧性。什么是形式主义，哥德尔对它做了什么，我们也要谈。

哥德尔相当有名，可他的朋友爱因斯坦被《时代》选为「世纪人物」，整个世纪最重要的人。评语写道：「他是二十世纪科学家的标志形象，那个带德国口音、笨手笨脚的教授，上千部电影里的老套形象，像卓别林的小流浪汉一样一眼就能认出。他那一头乱发的面孔，普通人熟悉，从柏林到好莱坞各处沙龙里围着他打转的贵妇也熟悉。然而他深不可测，是天才中的天才，仅凭思考就发现了宇宙并非它看上去的样子。」有个故事说，普林斯顿的一位太太在路上认出了那张美丽的老面孔，一时失控，把车撞到了树上。爱因斯坦显然是上个世纪最重要的思想家，而这样一个人，说自己去办公室只是为了和哥德尔一起走回家。

再念一段：1952年哈佛授予哥德尔荣誉博士学位，颂词是「本世纪最重大数学真理的发现者，外行人无法理解，对哲学家和逻辑学家具有革命意义」。我今天要试着说服各位：哈佛说谎了。哈佛的校徽上写着「Veritas」，真理，可这句话不是真的。它并非外行人完全无法理解，哪怕在今晚这么短的时间里，我认为也能讲明白。

定理可以用大白话说出来

戈德斯坦： 那么他做了什么？1930年，二十三岁的哥德尔证明了一件非同寻常的事。这是他年轻时的照片。他在一个当时甚至不算完全受尊重的数学分支里做出了一个非同寻常的证明，这个分支叫数理逻辑，是他让它受到了尊重。这就是所谓的不完备性定理（incompleteness theorem），其实是两个，两个在逻辑上相关的不完备性定理。

它有一点很美妙：和大多数数学结果不同，哥德尔的不完备性定理可以用普通的英语说出来，不需要任何数学符号。证明的细节非常技术化，技术难度令人生畏，但令人欣喜的是，证明的总体策略并不技术化。它优雅、巧妙、简洁，我今天大致会讲给各位听。它可以用日常语言说出来，虽然一开始听起来不像日常语言，但讲座结束时各位会明白的。

我念一段《哲学百科全书》里「哥德尔」词条的开头，它非常简练地陈述了这两个定理。请注意，这里没有任何符号，基本就是英语：「根据哥德尔定理，以下陈述普遍成立：在任何足以表达数论的形式系统中，都存在一个不可判定的公式，即该公式不可证明，其否定亦不可证明。这一陈述有时被称为哥德尔第一定理。该定理的一个推论是：一个足以表达数论的形式系统，其一致性无法在该系统内部得到证明。这一推论有时被称为哥德尔定理，或第二定理。」词条接着说（它还算友好）：「这些陈述是对哥德尔于1931年在维也纳发表的结果的略显含糊的概括。」那篇论文的题目是《论〈数学原理〉及相关系统中的形式不可判定命题》，1930年11月17日收到稿件。

从这段简短生硬的陈述里（我相信各位此刻还是听不懂，哪怕没有符号），你大概猜不到，不完备性定理非同寻常之处在于它们能说的东西太多了。它们大概是数学史上最「健谈」的定理，说个没完，能从中榨出来的东西太多。它们属于数学的一个分支，形式逻辑或数理逻辑，我们等一下会谈；可它们的影响远远超出了形式逻辑这个狭窄而形式化的领域，触及一些庞大、宽泛、杂乱的问题：真理的本质，知识与确定性的本质。而因为人的本性和这些关于真理、知识、确定性的讨论密不可分（毕竟说到知识，就是在说知道的人、思考的人，也就是我们），哥德尔的定理似乎对我们的心智可能是什么、可能不是什么，也有重要的话要说。

所以这些定理不同寻常，不仅因为它们能用大致平常的语言表述（「形式系统」「一致性」「不完备性」是术语，我们会解释，但它们不是符号，这在数学里是罕见的物种），更有意思的是，它们似乎在回应（尽管方式含糊、争议极大）人文学科的核心问题：我们拥有知识是怎么一回事？我们如何可能拥有知识？我说它们是数学史上最健谈的定理，人们对它们究竟说了什么、说了多少、精确说的是什么有分歧，但毫无疑问它们说了很多数学之外的东西，肯定延伸到了我们所说的元数学（metamathematics），也许还超出了元数学。这些定理如此特别，因为它们是数学定理，却似乎逃出了数学的边界，同时从数学内部和外部发声。它们有数学的精确，又有哲学的广度。所以你可以理解为什么哲学家对它们如此着迷。

元数学：数学如何谈论自身

戈德斯坦： 我用了「元数学」这个词，应当解释一下。「元」（meta）这个前缀来自希腊语，意思是「在后」「超出」，暗示一种从外部观看的视角。各种认知领域都有元问题，比如：这个知识领域怎么可能做到它正在做的事？我们可以对科学提元问题，对艺术提元问题，对数学提元问题。数学作为一个知识领域，在许多重要方面都是独一无二的，因此它引出的元问题格外尖锐、格外特殊：我们做数学时究竟在做什么，我们怎么可能做到？

数学的严格与确定是先验地（a priori）达到的。我本来应该有一张幻灯片解释「先验」，跳过去了。先验大致是说：我们知道这些真理，却不依赖经验。这不是说我们生来就知道它们，也不是说它们是天生的，而是说没有任何经验能反驳它们，它们的地位在某种意义上独立于经验。

举个例子，五加七等于十二。假如我数五样东西，又数七样东西，得到的不是十二样而是十三样，会怎样？（这种事真的发生在我身上过。）我会怎么做？我会重数。如果还是十三，如果一直是十三，我会说「五加七等于十二」被推翻了、被证伪了吗？不会。我会说要么有什么东西变成了两个，要么是我看重影了，也许是我出了毛病，也许我在做梦。这是可能的。甚至，如果我一直确信一切正常、我是醒着的，我也会宁愿相信自己疯了。这大致就是我们说「五加七等于十二」是先验的时候的意思。事实上数学的全部真理都是先验的。这条真理被用来评判我们数数的经验，而不是反过来。我们不用经验评判数学真理。这些真理不知怎么站在经验之外，它们是先验的。

正因为数学独一无二，用先验方法得出常常令人震惊却又确定无疑、无法纠正的结果，它历来向研究知识的理论家，也就是认识论者（epistemologist；认识论就是「思考思考」的学问），提出了非常特殊的问题：像我们这样由进化的随机翻腾抛出来的生物，怎么可能达到任何一种不会出错的境地？而我们在数学里似乎做到了。我们怎么能有确定性？怎么能先验地知道事情？

为了把这个问题逼得更紧，不妨想想马克思。不是那个马克思，是格劳乔·马克思，他说过他不愿加入任何一个肯接纳他这种人的乡村俱乐部。类似地，有人忧心：如果数学真的如此确定，像我们这种人怎么可能知道它？我们怎么进得了这么一家门槛森严的认知乡村俱乐部？

这些是元数学问题。关于一个领域的元问题，无论是科学、数学还是法律，通常都不包含在该领域内部。科学的元问题本身不是科学问题；法律的元问题不能用法律的方法回答。它们是哲学问题，属于哲学的领地：科学哲学、法哲学、数学哲学。

哥德尔的定理是这条一般规则的惊人例外。它们是数学定理，是数学上证明了的定理，是先验证明的定理，毕竟这是一段数学；可它们确立的是一个元结论。他在数学内部回答元数学问题，这太惊人了，在此前的数学史上绝无仅有。这就好比有人画了一幅画，这幅画本身回答了艺术的基本问题：什么是艺术中的美？甚至回答了艺术为什么能打动我们。我能找到的最接近的形象是一幅埃舍尔的画，一幅似乎跳出了画框、反过来追问艺术本身的画。

哥德尔的定理讲的是证明的极限，形式系统（formal system）的极限。第一定理说的是：所有形式系统，要么不一致，要么不完备。所有足以表达算术的形式系统都是如此。所以对形式系统你只能二选一，不一致或者不完备，两者不可兼得，你不可能有一个既完备又一致的形式系统。这里我用了三个术语：形式系统、一致性、完备性。现在该解释它们了。

形式系统：一切皆规则

戈德斯坦： 先讲形式系统。这些概念每一个都够讲一学期，我只希望给各位刚好够用的理解，让大家能领会哥德尔用这些定理做成的那件非凡的事。

形式系统，基本上就是一切都按规则来的系统，一套系统化的规则。形式系统里没有任何东西不是按规则做的，全都是一种机械程序，是可以编进计算机的那种东西。形式系统基本上有三类规则。第一类规定符号表：这个系统里用什么符号，什么符号可以出现在系统里。第二类规定这些符号如何组合，按规则把符号组合成我们所说的合式公式（well-formed formula）。第三类规定哪些符号组合可以从哪些符号组合推出。所以一切都围绕规则，三类规则：符号是什么，怎么组合，什么组合能从什么组合推出。

形式系统的规则甚至规定了符号和合式公式在该系统里的意义。用数理逻辑或哲学的说法，在形式系统里，意义完全是句法的（syntactical），全由规则决定，由系统的语法规则决定，就是我刚才说的三类语法规则。那是规则，而且只有规则，除此之外什么都没有。

这么说很抽象，举个例子。这里有一个符号，「&」，你以为你知道它是什么意思，以为它表示「并且」。在形式系统里，这个符号的意思由以下规则定义，除了这些规则它没有任何别的意思。第一条规则：有了「P&Q」，你可以推出P。第二条：有了「P&Q」，你可以推出Q。第三条：有了P，又有了Q，你能推出什么？对，「P&Q」。这几条句法规则就穷尽了「&」在形式系统里的全部意义。这就是形式系统：一切按规则来，你不能跳出规则去问「这一切到底意味着什么」。形式系统在构成它的规则之外没有任何意义。计算机就是按形式系统运行的。

有一幅漫画表达了这个意思，讲的是被限制在形式系统里的处境。一台机器说「我思故我在」，它推出了某种意义：「我在，我在，我思故我在，活着，有生命有思想，还有我甜美的意识和不朽的灵魂。」这在形式系统里是不会发生的。

形式系统是用来证明定理的。哥德尔第一不完备性定理说：所有足以表达算术（最基本的数学）的形式系统，要么不一致，要么不完备。形式系统存在的全部理由，就是以完全机械的方式产生证明。它们对证明如此重要。那么证明是不是最终归结为在形式系统里的证明，别无其他？这就是不完备性定理核心的元问题，也是推动整个不完备性事业的元问题：数学全部是否都能还原为形式系统里那种机械程序？

形式主义与柏拉图主义之争

戈德斯坦： 还记得《时代》周刊那张幻灯片吗：「哥德尔把数学的镜头转过来对准数学自身，发现了著名的不完备性定理，一桩打进了形式主义的心脏。」形式主义（formalism）的主张是：全部数学都可以还原为形式系统。

那个大谜团，像我们这样的人怎么进得了那家门槛森严的乡村俱乐部，怎么能获得如此无法纠正、不会出错的知识，形式主义的回答是：我们创造了这些形式系统，这是我们玩的一种游戏，我们把系统的蕴涵推演出来，如此而已。我们的直觉从哪来？我们这些有限的生物，怎么能知道关于无穷的事，而且知道得如此确凿，以至于任何经验证据都反驳不了？（你们可以拿这一点考我，我宁可说自己疯了，也不会承认有某种经验证伪了「五加七等于十二」。）形式主义说：这全是形式系统的事，没什么神秘的。

举例来说，我们知道每个自然数都有后继，自然数永远数不完。我们知道素数有无穷多个，这有证明，我们永远到不了「最大的素数」。可我们这么渺小、这么有限，我怎么知道在我们数过的任何数之外，不存在某个最大的素数？我们怎么能获得这种关于无穷的知识？这是一个巨大的元问题，元数学问题。而说我们对无穷有某种直觉，说我们这些有限生物竟然能有对无穷的直觉，说我们以一种类似感官知觉的方式「看见」它，这听起来像某种神秘主义：我们能洞见一个超出感官、超出物理的世界。

这种观点，认为确实存在独立的数学真理，数学家是在发现它们而不是在形式系统里发明它们，与形式主义针锋相对。与这种观点联系最紧密的思想家，就是公元前五世纪的柏拉图，第一位柏拉图主义者。这个立场叫柏拉图主义（Platonism）。形式主义想做的，就是把这种带神秘色彩的柏拉图主义数学观扼杀在萌芽里。形式主义要把「直觉」这个概念从数学里彻底放逐出去。按形式主义的说法，全部数学不过是规则，是形式系统，就是那三类规则，那种可以编进计算机的东西。我们制定规则，然后遵守规则，看它们导向哪里。

照形式主义的讲法，数学变成了一种复杂程度更高一层的国际象棋。我们都会同意，不存在「客观的国际象棋」，不存在某个被象棋系统所刻画的象棋实在。在象棋里，人为规定的规则构成了象棋的全部真相。同样，按形式主义的说法（它和大卫·希尔伯特（David Hilbert）联系最紧密，他是哥德尔上一代最重要的数学家），形式系统里人为规定的规则构成了数学的全部真相。去掉那些神秘主义，去掉直觉，去掉柏拉图那个超感官的实在。数学是一场游戏，我们靠证明定理来赢，也就是用约定的推理规则，证明某个未加解释的符号串可以从另一些未加解释的符号串推出来。我们不引入任何额外的意义，规则提供了全部意义。没有外在的真理需要数学去对照。与柏拉图相反，数学不描述任何超验的实在。全部数学都可以还原为既一致又完备的形式系统。

完备与一致：二者不可兼得

戈德斯坦： 各位对形式系统和形式主义大致有了感觉。现在讲另外两个词。形式主义要求全部数学都能还原为一致且完备的形式系统。「完备」（complete）是什么意思？一个形式系统是完备的，基本上就是说，你想在里面证明的东西都能证明：给定任何合式公式，任何这个系统能表达的东西，你都能证明它或者它的否定。系统里没有不可判定的命题，没有既不能证明为真又不能证明为假的命题。

「不一致」（inconsistent）各位大概知道，但我们还是说一下。一个形式系统是不一致的，如果你能在里面证明一个矛盾：用这个系统的规则，在系统内部同时推出P和非P。P和非P，这非常非常糟糕，你绝对不想要这个。形式系统不完备，我们可以忍受，自哥德尔以来我们一直在忍受，也不得不忍受；形式系统不一致，我们无法忍受。

不一致有什么可怕？我告诉你：它让整个系统变得一文不值。扔掉吧，没用了。不一致的系统就是能证出矛盾的系统，而从一个矛盾出发，在形式上可以证明任何东西。随便你扔给我什么愚蠢的命题，任何东西，都能从矛盾推出来。有了矛盾，一切都随之而来。形式系统的全部意义在于证明，而一个不一致的系统让证明变得太容易了：任何毫无价值的符号串（它必须在系统内有意义，但随便什么都行）都能从矛盾证出来。所以不一致的系统一定是完备的，它能证明它能表达的一切。没有什么比不一致更能毁掉一个系统了。

说到这里，尽管哈佛在颁荣誉博士时那么说，我们已经开始看到哥德尔做了什么，看到它在元数学上为什么如此重要，为什么说他把一桩打进了形式主义的心脏。形式主义声称数学不过是形式系统，当然是一致的形式系统，我们只对一致的系统感兴趣。形式主义声称，比如算术这样的领域可以还原为一个形式系统，算术命题为真就意味着在这个形式系统里可证。形式主义声称存在一个一致的算术形式系统，包含算术的全部真理。

而哥德尔第一不完备性定理说：没有任何算术形式系统既一致又完备。对任何足以表达算术的形式系统（这是我的措辞，不是他的），都可以证明存在一些算术真理，它们在该系统内不可证明。注意，他说的是「真理」：我们能实实在在看出这些命题为真，但它们在系统内推不出来。你可以把它们添作公理，把系统扩大，可哥德尔会告诉你一种办法，在新系统里再构造出另一个命题，我们看得出它为真，但它在这个系统里不可证。各位已经能看出他给形式主义惹了什么麻烦。

第二不完备性定理说：一个足以表达算术的形式系统，它的一致性不可能在该系统内部得到证明。我必须加上「在该系统内部」。也就是说，我们使用一个系统时，除非跳到系统外面，给它提供一个解释，谈论这个系统在谈论什么，而这正是形式主义不想要的（这等于给形式主义拔了电源），否则，只要我们待在形式系统内部，只谈这个形式系统本身，我们甚至无法证明它是一致的。我们正在用的，说不定就是那种可怕的不一致系统。这对形式主义非常非常不利。

哥德尔其人：怯懦外表下的野心

戈德斯坦： 那么这是谁做的？这是我最喜欢的哥德尔照片之一，在维也纳，穿着登山装。在奥地利待过的人都知道，奥地利人整天登山。是什么在推动哥德尔？他在二十三岁前就做成了这件事。哥德尔是个柏拉图主义者，而且是热烈的柏拉图主义者。他显然很年轻时就成了柏拉图主义者，还是维也纳大学的本科生。他进大学时打算学物理，他一直最想了解实在，实在的本性，这始终是他燃烧的动机，就像多年以后在世界另一头成为他挚友的那个人一样，两人都是逃离纳粹疯狂、流亡到新泽西的难民。

但在本科阶段的某个时候（请想想，还是本科生），二十年代的某一年，他选了海因里希·贡珀茨（Heinrich Gomperz）教授的哲学导论课。多年以后在新泽西，爱因斯坦去世后（哥德尔其实只想和爱因斯坦说话，爱因斯坦死后他越来越退回自己的私人世界，他一直有些偏执，此后变得更加偏执，几乎成了隐士），一位叫伯克·格兰让（Burke Grandjean）的社会学家想采访他，想了很久，哥德尔不答复，社会学家一气之下寄给他一份问卷，问了各种问题，其中就有：谁对哥德尔影响最大，谁是他的哲学影响来源。为了方便，社会学家列了一串哲学家，哥德尔只需打勾。哥德尔填了问卷，而且填了两次，第一次没寄出去，格兰让又寄了一份。我怎么知道这些？因为和哥德尔遗稿（Nachlass）里的许多别的东西一样，他从来没把它寄出去。全在普林斯顿大学的档案库里。里面还有他本科时借书的借条，维也纳的送煤单，他什么都留着。我在那里找到了格兰让的这份问卷。

哥德尔只列了三位哲学家。顺便说一句，格兰让列出的某一位似乎让他格外恼火，就是路德维希·维特根斯坦（Ludwig Wittgenstein）。在这份没寄出、却让我有幸找到的问卷里，哥德尔显得有点被冒犯，他写道：维特根斯坦和我在元数学上的想法毫无关系，事实上他从来没理解过我的证明，他要是理解了，就不会说他说过的那些话。他对此真的很不高兴。

他列的三位是：柏拉图；莱布尼茨，他和莱布尼茨的关系非常亲近，事实上爱因斯坦去世后，哥德尔几乎不再和任何同时代的人交谈，他最亲密的同事似乎就是莱布尼茨；还有贡珀茨教授。贡珀茨的照片我没找到，只找到一幅小素描。他的父亲特奥多尔·贡珀茨是著名的古代哲学史家，写过三卷古代哲学史。哥德尔为什么把贡珀茨教授列为如此重要的影响？显然，在这门导论课上，哥德尔的人生差不多被改变了。他被柏拉图的思想激活了，柏拉图那个根本的想法：我们经验到的这个时空世界，其实是一个抽象流形的投影，是一个只能通过理性（像我们把握数学那样）去把握的实在层面，它和时空世界一样真实，实际上比它所解释的时空世界更真实，时空世界拥有的任何实在性，都来自它对这个更抽象的实在的分有。这是柏拉图的精髓。哥德尔还是本科生时，就热烈地投入了这个想法。多年后他告诉另一位逻辑学家王浩，正是在这个影响下他把专业从物理改成了数学，因为对他来说，数学从此成了发现实在的途径。他坚定地认为数学不是发明而是发现。他是柏拉图主义者，不是形式主义者。

他先进入数论，他说那是他最初以为能找到某种真理、能反映数学实在的地方。哥德尔有个奇怪的地方：他是为了哲学才进入数学的。他想要的是能反过来照亮数学整体解释的数学结果，而且他知道自己要找哪一种解释，哪一种数学观：柏拉图主义。这就是他的动机。他想证明算术是关于数的，集合论是关于集合的，是关于形式系统之外的东西的，是「关于」什么的。他想证明存在一个由抽象实体构成的柏拉图领域，构成我们所说的形式系统的模型（model），而形式系统之所以为真，就在于它真实地描述了它所意图的模型中的实体。

这让人瞥见了维也纳大学这个古怪本科生的过大野心。这个人外表几乎有趣地、甚至荒唐地胆小谨慎，被各种荒谬的恐惧折磨，有时恶化成真正的偏执狂，严重到不得不住院。这是一张照片，是奥地利的一所精神病院，他曾在里面忍受极度偏执的发作。我不喜欢这张照片，还是回到希尔伯特这张。但这个外表谨慎、恐惧、偏执的人，在智力野心和直觉方面却毫无惧色，他是一种英雄，对直觉有英雄式的自信。一个被元数学问题困扰、在贡珀茨教授的导论课上学到柏拉图的本科生，给自己定下的任务是：发现一个数学结论，它同时是一个元数学结果，能支持数学实在论，支持柏拉图主义，支持「数学是关于某种东西的」。这个野心之大已经够惊人了。可如果你看看他当时所处的历史语境，就更惊人了，因为这个观点当时完全不合时宜。

罗素悖论与希尔伯特纲领

戈德斯坦： 形式主义是当时元数学的主流学派，背后站着当时最有影响的数学家大卫·希尔伯特。形式主义为什么在那时如此流行？首先是那个「幽灵」的问题：对一个超感官世界、柏拉图世界、抽象对象世界的承诺，总有理由想把它去掉，奥卡姆剃刀，尽量削减多余的本体论承诺（ontological commitment，哲学家爱用的词，即关于什么存在的承诺）。还要记得，形式主义想把直觉从数学里驱逐出去。直觉就是你「就是知道」某事为真，那种内心的笃定，你证明不了，可你知道，而且确定地知道。人们总有理由怀疑直觉。人们声称对各种事情有直觉，常常一个人直觉P，另一个人直觉非P。有时人们对自己的直觉如此确信，以至于为它发动圣战。所以即便在数学之外，也总有理由怀疑这些确定无疑的直觉。

而在数学内部，十九世纪末二十世纪初出现了一些戏剧性的证据，表明我们的数学直觉并不牢靠：首先是非欧几何的发现，其次是所谓集合论悖论的发现。集合论内部，也就是数学内部，接连发现了好几个悖论。康托尔悖论说「所有集合的集合」不能存在。我要讲的是一个真正严重的集合论悖论，罗素悖论。它是在人们把数学形式化、从公理和定义出发推导一切的过程中被发现的。

这张照片上，哥德尔旁边站着一个我还没提到的人，汉斯·哈恩（Hans Hahn），在座的数学家都知道哈恩—巴拿赫定理。哈恩是哥德尔的博士导师，有意思的是，他完全不知道这个年轻人在酝酿什么，直到哥德尔非常安静地宣布，他证明了第一不完备性定理，构造出了一个我们能看出为真、却在算术形式系统内不可证明的命题。这里还有希尔伯特，还有伯特兰·罗素。

好，现在我们有了一个集合：我今天讲座里提到的所有数学家的集合。集合可以有各种性质，集合有时也可以是别的集合的成员。我可以问：所有数学家的集合，是不是它自己的成员？显然不是，因为所有数学家的集合不是数学家，它是一个集合。那么「所有数学构造的集合」呢？它是自己的成员吗？是的，因为所有数学构造的集合本身也是一个数学构造。

现在考虑集合的这样一个性质：不是自己的成员。所有不是自己成员的集合都有这个性质，我们把它们收拢成一个集合：所有不是自己成员的集合的集合。这是一个完全合格的描述，我已经向各位解释清楚了，我们就来构造这个集合。它是不是自己的成员？要么是，要么不是，这只是逻辑。假如它是自己的成员，那它就不是自己的成员，因为这个集合只包含那些不是自己成员的集合。好，那它不是自己的成员。可如果它不是自己的成员，它就是自己的成员，因为这个集合包含了所有不是自己成员的集合。于是它既是自己的成员，又不是自己的成员。矛盾。我们不要矛盾，这是前面说好的。

当时的集合论居然能产生矛盾，这相当糟糕。所有不是自己成员的集合的集合，不存在，不可能存在，我们知道它不存在，因为它产生矛盾。可我们的直觉说：只要有一个描述，就能构造对应的集合。这就证明直觉会出错。直觉并不完全可靠，连数学里都不可靠，更不用说伦理、政治、宗教，那些人们声称拥有直觉的地方。就连数学这门最精确的科学，直觉也会出错。

可以想见，希尔伯特对集合论里出现悖论非常不安。他写道：「必须承认，眼下我们撞上悖论的局面是不可容忍的。想想看，每个人在数学里学习、教授、使用的那些定义和演绎方法，居然导向荒谬。如果数学思维都有缺陷，我们到哪里去找真理和确定性？」这出自希尔伯特的文章《论无穷》。最要紧的事，是证明形式系统是一致的，证明它们证不出矛盾，因为正如我已经解释的，不一致的形式系统一文不值，什么都能证。所以希尔伯特在1900年给他的数学家团队做动员，要他们去证明算术的一致性。希尔伯特自己已经证明了几何是有条件地一致的，也就是说：如果算术一致，几何就一致。这取决于能否证明算术形式系统的一致性，所以他才催促数学家去证明它。

哥德尔登场。希尔伯特纲领的目标是把一切形式化，甩掉那些靠不住的直觉，证明我们不需要它们。这一切都取决于能否把算术形式化，证明存在一个能表达算术、既完备又一致的形式系统。哥德尔证明这不可能。他进一步用第二不完备性定理证明，我们甚至永远无法在算术系统内部证明该系统的一致性，我们必须走到系统外面，提供我们所说的模型，表明它是「关于」什么的。所以他在形式主义心脏上打进的是两根桩，正如《时代》所说，其实是双桩。

证明骨架：会说自己不可证的句子

戈德斯坦： 我想给各位看一点点这个证明。它太美了。当然我没法在这里展开，它很短，但非常稠密，塞进去的东西极多。事实上许多数学，递归函数的整个概念、递归论、模型论，都来自哥德尔在这个证明里做的事。而且，为了证明形式系统的局限，他把形式系统这个概念磨得比以往任何时候都锋利。在展示其局限的同时，他让形式系统的概念清晰了许多。

在最后这几分钟，我想让各位稍微感受一下他做了什么。这个精妙的证明全都严丝合缝地做了出来，令人惊叹。通过一套极其细致的工作，我们现在称之为哥德尔编码（Gödel numbering）（谦逊的哥德尔当然不会用自己的名字叫它），他让算术陈述能够「谈论自己」。这里有一种双重言说：这些命题既有直白的算术意义，说的是数与数之间的关系，就是自然数，同时又在谈论它们自身，谈论自己的可证明性，谈论自己在系统里能不能被证明。它们说的是算术的事，同时也说的是元数学的事，某种超出公式的事，关于它们自身及其可证性的事。全部做得极其严谨、极其漂亮，美得让人心跳停止。他最后得到的，是一个算术陈述，既说了关于数的事，又说了「它自己不可证明」。

这就是自指，我们在「所有集合的集合是不是自己的成员」那里已经见过。哥德尔为了帮助我们理解这个和以往任何证明都不同的证明，让我们把它和这样一个句子比较：「P：这句话是假的。」P就是这句话，它说自己是假的。这是一个古老的悖论，说谎者悖论。这个句子有什么问题？各位大概已经能说了。P是真的吗？如果P是真的，那P就是假的。好，那它是假的。可如果它是假的，那它就是真的，因为它说的正是这个。所以P既真又假。这就是自指悖论。

哥德尔那个古怪的算术命题说的东西与此类似，也是双重言说。他在系统里炮制出一个命题，它说的是算术的事，但同时，G说：G这个命题本身在系统里不可证明。这是一个算术句子，通过证明的魔法（相信我，在证明里它感觉就像魔法，但它不是魔法，它是证明，一切靠证明的巧思实现），这个古怪的算术命题同时在说自己在系统里不可证明。G的否定是「G在系统里可证明」，因为G说自己不可证明，所以非G说G可证明。

那么G在系统里可证明吗？如果G可证明，那么它的否定非G（它说的就是G可证明）就为真。所以如果G可证明，它的否定就为真。而一个命题的否定为真，这个命题本身就为假。所以如果G在系统里可证明，G就为假。可如果G在系统里可证明，G又为真，前提是系统一致。这是整个证明的条件：如果系统一致，那它就不完备。我们假设系统一致。证明说明了什么？假设系统一致，被证明的命题就是真的。所以在一致性假设下，如果G可证明，G就既真又假。从中得出什么？这是矛盾。因此G不可证明。我们刚刚证明了G不可证明。而「G不可证明」正是G所说的。因此G为真。于是G既不可证明，又为真。这正是哥德尔证明那个著名的结论：如果系统一致，系统里就存在一个可表达的真而不可证的命题。而因为G还有一个直白的算术意义，这个算术意义当然也为真，因为它就是G。哥德尔的证明由此表明，存在算术真理（比如G）无法在形式系统里证明，前提是系统一致。所以形式系统要么不一致，要么不完备。这就是第一不完备性定理。

总之，我们做成了一件很重要的事：我们证明哈佛错了。各位都是外行，各位都懂了，大致明白这里发生了什么。

最后用闵希豪森男爵和哥德尔收尾。这不是我的想法，是诗人汉斯·马格努斯·恩岑斯贝格（Hans Magnus Enzensberger）把哥德尔的论证比作闵希豪森男爵的故事。这位著名的吹牛大王，在一个儿童故事里，靠拽自己的辫子把自己和马一起从沼泽里拔了出来。这位了不起的诗人（他也试图见哥德尔，我在遗稿里找到了那封信）把哥德尔在形式系统内部证明了关于形式系统极限的元数学结果这件事，比作闵希豪森的吹牛。只不过，闵希豪森男爵是个骗子，而哥德尔手里有证明。谢谢各位。

问答：哥德巴赫、连续统与心智

观众： 零乘一等于零，可一除以零，也就是零乘以一的逆运算，却是没有定义的。这也算哥德尔所说的那种例子吗？

戈德斯坦： 我认为不算。你提到的这些真理其实是从算术规则推出来的，完全在算术内部，从我们用的基本规则、算术的公理推出来。算术已经公理化了，所以这是真正的算术，是算术系统内部的事，它没有哥德尔不完备性定理那种奇怪的「既在内又在外」的特征。它是算术的，不是元数学的。

也许你察觉到了别的东西：数学内部推出的许多东西看起来古怪而悖谬，我们得到的很多结果都是这样。无理数这个概念，希腊人就觉得古怪。事实上，数学新进展的命名方式常常记录了我们推出某些结果时的深深惊讶：「无理数」（irrational）、「虚数」（imaginary），「有理数」与「实数」相对。这些分类本身记录了历史上的惊讶，当我们推出算术蕴涵的某些结果时的惊讶。但那是另一种惊讶，和哥德尔带来的惊讶不同。

观众： 我们能不能干脆把G当作一条算术公理，直接假定它，而不是试图证明它？

戈德斯坦： 好问题，这当然是下一步合理的做法：把G添作公理。然后这就无穷无尽地进行下去。哥德尔告诉你怎么为新系统再炮制出另一个G。无论你添加多少公理，他都给了你一个在该系统内部炮制出逃脱该系统的命题的配方。

说到这个结果的含义，证明摆在这里，但它在元数学上究竟告诉了我们关于数学的什么，肯定有争议。数学是清楚的，数学的解释不清楚。它是否像哥德尔认为的那样（他明确说这是他的动机，也是他认为随之而来的结论）证明了数学实在论，证明了数学是描述性的，证明了直觉不可消除，也就是说，做数学时，直觉尽管糟糕、尽管危险、尽管会把我们引入歧途，但它不能从数学里消除，数学不能变成一套纯粹机械的、形式的、纯句法的程序。哥德尔肯定是这样解释这些结论的。某种意义上他告诉我们，数学里的风险消除不掉，数学是有风险的，我们可能大错特错，我们用的直觉可能最终把我们带进悖论，但直觉无法消除。这很有意思，我喜欢把它推广：任何值得做的事都有风险。数学也是如此，总有一定的风险，而形式主义想做的是把风险降到最小，实际上是消除风险。但回到你的问题：你要是把G添进去，就有办法在新系统里再造出另一个G。

观众： 我有两个问题。第一，能不能举一个G的例子，真的有一个方程或什么东西，说自己不可证明吗？第二，这一切在哲学上究竟意味着什么？如果数学不能证明一切，是不是说我们不能知道一切，或者不能证明一切？它到底说了关于我们的什么？

戈德斯坦： 好。这里实际炮制出来的G，我们知道它为真但不可证，是一个非常古怪的算术命题，我就不写出来了。不过哥德尔说，这类真而不可证的命题可以是以下这种类型的。他在证明的前言里实际提到了一个至今未解的著名问题：哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）。哥德巴赫猜想说，每个大于二的偶数都是两个素数之和。这是一个猜想，没有证明。我们检验过的每个偶数都符合，但偶数有无穷多个，我们不可能一个个核对完。这个命题要么真要么假。如果它是假的，如果并非每个偶数都是两个素数之和，那么原则上我们可以发现这一点，因为在无穷的某处存在一个反例，一个不是两个素数之和的偶数。（素数就是只能被自己和一整除的数。回家试试，每个偶数你都能拆成两个素数之和，很神奇。）所以如果它是假的，原则上我们能发现，只要坚持得够久，会找到反例。

可假设它是真的，每个偶数都是两个素数之和，但没有办法证明它，没有办法从算术公理走到它的证明，它只是碰巧是关于数的一个事实。形式主义者会说：那它就没有真值。要么它是假的，原则上我们能发现；要么它不能从形式系统推出，没有证明，那它就不是真的，它根本没有真值。而哥德尔，作为柏拉图主义者，会说：它要么真要么假，要么每个偶数都是两个素数之和，要么存在反例。哥德尔提出的可能性是：存在哥德巴赫猜想这种量级的真而不可证的命题，一个著名的猜想，我们能证明它为真但不可证。

至于含义。一些人认为随之而来的含义是：数学不能还原为形式系统，这似乎确实成立。现在还有形式主义者，他们以这样那样的方式绕着不完备性定理跳舞，但自不完备性定理以来，做形式主义者难多了。我甚至不会说他把桩打进了形式主义的心脏，不过大体上是这样。在元数学层面，形式主义肯定遇到了困难。还有什么？你问哥德尔从中得出了什么。哥德尔没有从中得出数学知识有局限，他论证的是形式系统有局限。哥德尔的理解是：我们拥有无法形式化的数学知识。他不是说存在逃脱我们的数学，事实上我们能看出这个命题为真，尽管它不可证明，从我刚才给出的那个优雅的证明里就能看出它真而不可证。所以哥德尔说的不是数学的不完备，而是形式系统的不完备：形式系统穷尽不了我们的数学知识。

那么我们的数学知识能否穷尽数学实在？既然哥德尔说存在一个数学实在，他有时会允许自己谈这个。他有一篇著名的文章《什么是康托尔的连续统假设？》，在里面他真正推出了自己的柏拉图主义。这里有另一个不可判定命题，解释起来太费事，我试试看。康托尔的连续统假设是另一个不能从集合论公理推出的命题。十九世纪数学里发生了一件惊人的事：格奥尔格·康托尔，了不起的数学家，证明了无穷有不同的阶。你可以有一个无穷集合，又有另一个无穷集合，后者「更大」。这听起来像悖论，是数学里那些令人惊讶的结果之一，无穷不就是无穷吗？我小时候读伽莫夫的《从一到无穷大》，读到这个，大概就是它让我走上了数学的路。各位都该读读那本书。他谈到无穷的阶：有自然数的集合，也就是计数的数；有实数的集合，包括有理数和无理数。实数比自然数多。有一个精彩的论证表明，一个无穷集合可以比另一个大，意思是：你把每个自然数和一个实数配对，配完之后还会剩下实数。

于是我们有这两个集合，自然数集和实数集，我们想知道：中间有没有某个集合，比自然数集大、比实数集小？这就是康托尔的连续统假设。我想他的假设是没有，我记不清了，反正要么有一个在中间，要么没有。哥德尔和数学家保罗·科恩（Paul Cohen）合在一起证明了，连续统假设不能在集合论内部证明，它和它的否定都与集合论公理相容。但它要么真要么假。哥德尔说它要么真要么假，只是超出了我们的数学知识，我们从公理走不到它。哥德尔说，希望将来我们会有更精确、更大、更宽广的公理，让我们够到它；也可能永远够不到。但它要么真要么假：在那两个集合之间要么存在一个集合，要么不存在。所以他认为随之而来的不是我们数学知识的局限。他真正证明的只是：我们知道的数学，远比形式系统能装下的多。

再补充一点，你这个问题太好了，我才讲了这么长。还有一种主张：既然我们的数学知识比形式系统大，永远装不进形式系统，那就说明我们的心智不是计算机。即便在做数学时，更不用说写诗的时候，即便在做数学，这件我们所做的最形式化的事上，我们的心智也不可能是数字计算机。这个论证是1962年哥德尔在世时由英国哲学家约翰·卢卡斯（John Lucas）提出的，后来变得非常流行，构成了罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）两本畅销书《皇帝新脑》和《心智的阴影》的基础。彭罗斯是一个货真价实的哥德尔式柏拉图主义者，他完全接受哥德尔的论证，认为不完备性证明了数学实在的真实性，并且认为不完备性定理说明了关于心智的某种东西：心智不是数字计算机，我们做数学时做的事超出了形式系统，超出了可以编进计算机的东西。所以，各种宏大的主张都被安在了不完备性定理头上。这就是为什么我说它们是数学史上最健谈的结果。它们到底在说什么并不清楚，但它们说了很多，远远超出了数学。

两位实在论者的友谊

观众： 首先感谢您的时间和研究。我一直在想象自己站在那条街上，哥德尔和爱因斯坦在交谈。哥德尔有今天讲的这个定理，而爱因斯坦，据我理解，在研究某种统一理论，一种能解释一切的理论。在我看来这两者是矛盾的。您的研究对他们可能谈些什么有什么发现？

戈德斯坦： 每个人都想知道这个，谢谢你的问题。写书的时候我采访了一些老人，我赶得正好，采访完没多久他们就相继去世了。其中一位数学家告诉我（我至今还能听到他的声音），他每天看着他们走来走去，「他们只跟彼此说话，不想跟任何别人说话」。他说：「我们都想知道他们在聊什么。」我在书里对此做了大量推测。

关于他们两人，有意思的地方在这里。首先我们知道他们谈物理。哥德尔从爱因斯坦那里学了很多物理。爱因斯坦七十岁生日时，人们编了一本纪念文集（Festschrift），学者们都撰文讨论爱因斯坦的工作，哥德尔贡献的东西非常迷人：那是相对论的一个解释，一个模型，其中时间是循环的，时间绕成一个圈，你可以回到自己的过去。哥德尔对这个想法很着迷，它发表在那本文集里。所有物理学家都惊讶于哥德尔对物理理解得那么透彻。他从哪学的？只能是从大师那里，从爱因斯坦那里。所以他们肯定谈物理，谈相对论，谈量子力学。各位都知道爱因斯坦不喜欢量子力学，哥德尔也不喜欢。

而且两人都是坚定的实在论者。爱因斯坦在物理上，哥德尔在数学上，哥德尔更是超级实在论者。他们都坚信自己的领域是在描述实在。有意思的是，这在数学里是一种奇怪的观点，那个超感官的、超验的世界，尽管不完备性定理之后哥德尔让人很难再把它扫到地毯下面。而在物理里，你会想，当然了，谁不相信物理是对实在的描述？可事实上，在哥德尔和爱因斯坦的年代，甚至在我们自己的年代，这都不是流行的观点，因为量子力学的悖论，测量问题，量子力学里那一堆麻烦。有趣的是，爱因斯坦和哥德尔都觉得自己在各自的圈子里被边缘化了。这真让人着迷：两位当时最重要的思想家，两人都在自己选择的领域引发了深刻的革命，整个领域不得不围绕他们重新配置，围绕相对论重新配置（爱因斯坦对量子力学的开端也贡献良多），希尔伯特整个形式主义纲领在哥德尔之后被抛弃了。这两个你以为处于领域最中心的人，却觉得自己被边缘化了。为什么？因为他们对自己发现所做的元解释。两人都是坚定的实在论者：爱因斯坦坚信物理描述客观实在，哥德尔坚信数学描述客观实在。他们都是超级实在论者，而在他们那个年代，这不时髦。我想这和他们为什么走到一起大有关系。

他们的性格完全不同，这也是人们纳闷的原因。我采访的人说，爱因斯坦非常健全，没有神经质，睿智，带着那种通俗意义上的哲人气质；而哥德尔神经质，对所有人、对常识都极不信任。可在心智层面，两人完全一致。我想这就是那段关系的黏合剂。人们至今还在猜，那当然是我最想偷听的一场对话。

我该说一句，我见过哥德尔一次。我在普林斯顿的时候，他已经是隐士，没人能接近他。不过有几个人他还会说话，会通过他们了解逻辑学的最新进展。王浩和他谈得很多。但总的来说他离群索居，很可惜。有一段短暂的社交期，持续了大约三个月。我有幸参加了高等研究院为新人举办的一个派对，哥德尔就在那里。真是不可思议。年轻的逻辑学家们围着他，他非常有礼，旧世界的风度，很亲切。可我们全都张口结舌。他离开时祝我们大家未来的研究顺利。他走后我们都懊悔，太害羞了，没人问他一个问题。我最想问他、至今仍希望当年问了的问题是（虽然我现在想我知道他会怎么答）：他怎么看约翰·卢卡斯那个论证，那个声称他的定理蕴涵我们的心智不可能是计算机的论证？他接受吗？他认为它有这样的含义吗？可我太年轻、太害羞了。

观众： 戈德斯坦博士，我这样理解对不对：哥德尔定理处理的是自指的数学陈述，也就是说这些数学陈述在谈论它们自身？您在讲的时候，我想到数学之外的其他系统也处理自指陈述：每一种日常人类语言；DNA是一种承载信息的分子，它也在说关于自身的事。您刚才借卢卡斯论证稍微碰到了这一点，能否谈谈哥德尔定理在数学之外可能有什么含义和应用？

戈德斯坦： 首先你说得完全对。这些命题被炮制出来，让它们同时在系统内部和外部说话，这很不可思议。那个元数学陈述是自指的，它谈论自身，被构造成在那种解释下说的是「它自己不可证明」。所以它有自指的一面，尽管它同时也有直白的算术解释。而且如我在回答另一个问题时提到的，他说像哥德巴赫猜想这样直白的数学命题也可能属于这一类。

还有一件事：系统里有些东西真而不可证，其中之一就是该系统自身一致性的陈述。如果它为真，它就不可证。如果你能证明一个系统的一致性，这个系统就是不一致的。就是这个意思：如果你在一个足以表达算术的系统内部证明了它的一致性，它就不一致。我一直加上「足以表达算术」这个限定条件，因为哥德尔本人在博士论文里证明了我们所说的谓词逻辑的一致性和完备性，那个系统不足以表达算术。所以逻辑里有些系统既一致又完备，而讽刺的是，证明这一点的正是哥德尔。这挺有意思。总之，一致性本身是你在系统内部证明不了的。

在数学之外的含义。首先，它似乎说了关于数学本身的事，这属于数学哲学。它似乎告诉我们关于数学知识的事：我们拥有无法形式化的数学知识，我们必须依靠直觉，直觉不能从数学里消除。这些关于数学的事都很有意思。它也许还告诉我们关于人类心智的事，心智的能力是什么。彭罗斯论证、卢卡斯论证声称，从哥德尔定理可以实际证明心智不是数字计算机，对这个我远没那么放心。哥德尔本人对此持回避态度。王浩这位逻辑学家从与哥德尔的谈话里写出了三本书，他锲而不舍，追上了哥德尔，采访了他很多。有一处，哥德尔被问到这个论证，问他的定理是否表明我们不是计算机，我们做数学时做的事不能被计算机复制。他的回答非常有意思，他用一个析取句回答：要么它表明了这一点，要么我们并不拥有我们自以为拥有的那种数学知识。我们也许并没有这种逃脱形式化的数学知识，而我们无法证明自己拥有这种逃脱形式证明的知识，正因为它逃脱了形式证明。所以他用析取回答。他大致是在说：要么我们不是计算机，要么我们是患有数学夸大妄想的计算机。所以那个结论并不能直接推出。我对这个回答很满意，哥德尔觉得够好，我就觉得够好，那个析取。

思考是一种激情：人的不完备

观众： 您既是哲学家，又写小说，这两者在您那里是怎么连起来的？

戈德斯坦： 我当年懂的比一般的二十五岁的人还少，因为我受的训练教我把所有这类问题斥为泡沫、废话、无意义。于是我陷入了这样的思考：一个人如果把这些观念，柏拉图主义、哥德尔、量子力学的诠释，放在生命的中心，这会对他的生活、对他其他的关切造成什么？作为哲学家我写不了这个，我那套一流的训练立刻发作，方法论本身不允许我用我想要的那种自由方式去问。我只能在小说里问。我的第一部小说就是这么写出来的。这个问题一直让我感兴趣。

我确实相信思考是一种激情。对我来说是这样，对我感兴趣的人来说也是这样。不是激情在一边、思考在另一边，思考本身就是一种激情，一种令人沉醉的激情。可这是什么？我感兴趣的是人们实际进行的思考，它对人的生活做了什么，作为一个以思考为激情的人是怎么回事。我在小说里看这个，在最近两本非虚构作品里也在看：一本写斯宾诺莎，一本写哥德尔，两个最抽象的思想家，可我想写的是做他们是什么滋味。做哥德尔是什么滋味？做斯宾诺莎是什么滋味？观念嵌在生命里，这对我来说非常有意思。我想我这样做，就不再是一个「严肃」的哲学家了，至少这个行当认为我因为关注这些而不那么严肃了。但这让我感兴趣，也许反而让我成了更好的哲学家，反正这就是我的兴趣所在。毕竟是人在做这些思考。我们该不该这么在乎这些东西？把它作为中心关切，会对一个人的生活做什么？这就是我的中心关切。

观众： 您刚才说到「一切都不完备」，这似乎也是人的处境。

戈德斯坦： 是的。某种意义上这就是人的困境：我们是意识到自己不完备、意识到一切都不完备的生物。这就是我们。我们不断试图解决它，不断试图修补它，不断提出各种体系。某种意义上这就是哲学的开端：认识到我们是不完备的，然后去修补。我们总是提出体系，总是想把它补上。这让我觉得有些心酸：我们对完备的激情，和我们不断发现自己不完备。

观众： 但终极的不完备是我们会死。

戈德斯坦： 对。六十年代有本书我们都读过，恩斯特·贝克尔的《拒斥死亡》，很关键的一本书，他说我们是意识到自己是动物的动物。我喜欢这样想：我们是意识到自己不完备的不完备生物。是一回事。但其中有些东西并不悲剧，它是一切美的源泉，是艺术的解放性源泉。

观众： 即便试图克服它的努力，也是结构性的。

戈德斯坦： 当然，结构始终在这种美的核心，形式的、结构的东西和美大有关系。

观众： 精神疾病对不完备性定理是必要的，还是它的结果？

戈德斯坦： 我读到的每个人都问这个。这些事在我看来从来不好笑，它们非常真实，非常悲惨。不过当你真的读这个证明，它是如此不同寻常，因为它把两样东西合在了一起。哥德尔有一面极其谨慎小心，像个记账员，什么都记着，哥德尔编码就是记账员式的工作，这个对这个，那个对那个，无数琐碎的细节要追踪。然后又有一面是爱丽丝梦游仙境式的心智，你进入了另一个世界，有一种游戏性：这些命题在谈论自己。一边像在整理仙境，一边是仙境本身。这两样东西合在一起，实在古怪。也许并不需要精神疾病，不是每个人都能做到，这不只是聪明的问题。我通读这个证明时，总有什么东西让我不安。它既美、又动人、又令人不安。总之，他的精神疾病让我着迷。

他另一点让我着迷的是他对莱布尼茨的痴迷。有意思的是，爱因斯坦和哥德尔这对传奇朋友，被问到自己的哲学立场时，都回到了十七世纪的理性主义者。爱因斯坦说自己是斯宾诺莎主义者，哥德尔说自己是莱布尼茨主义者。所以除了彼此之外，他们最亲密的盟友都在十七世纪的理性主义者中间。我在普林斯顿的遗稿里（这个资源不可思议，因为他什么都留着）找到一张小索引卡，上面用德语写着他的十四条原则，他最相信的事，第一条是：世界是可理解的（Die Welt ist vernünftig）。这个观念，认为一切总有解释，叫充足理由律（principle of sufficient reason）。这也很有意思，因为它也渗进了他精神疾病的具体形态，也就是偏执狂。我采访的人和写过他的人都说，他对一切都有解释，一切都有解释，只是有时这采取了非常偏执的形式。精神科医生说，某种意义上偏执狂就是理性失控：总有一个解释，总有一个解释。伟大的经济学家和博弈论家奥斯卡·摩根斯坦（Oskar Morgenstern），也是哥德尔在研究院的密友，在日记里写道：「我和哥德尔谈话，他到处看见阴谋，总有阴谋，总有解释。」所以我感兴趣的也是这些方面：天才的脉搏渐渐融入精神疾病。我不主张所有天才都是疯子，或者你必须疯才能成为天才。爱因斯坦肯定不是，许多人都不是。

回到哥德尔，还有一件有意思的事：几乎所有人都误读了他的不完备性定理。他是热烈的柏拉图主义者，他大胆地想发现一个具有这种含义的数学证明，然后所有人都把它解释成：「啊，还有不确定性，还有相对性，一切都是主观的，没有客观真理，一场后现代的自由混战。」恰恰相反。或者他被解释成维也纳学派逻辑实证主义的最大成果，恰恰相反。他厌恶实证主义。实证主义者认为全部数学都是句法的，他厌恶这个，他想证明的正是它的反面。就像六十年代我们爱说的：「你偏执，不等于没人盯着你。」这很好笑，因为我这本书正在译成中文。哥德尔这本书的各种译本里，给我添麻烦最多的是德文版和中文版。德文版是因为我把很多德文材料译成了英文，他们不肯信任我再译回德文，要原文，可我已经不住在普林斯顿了，很难拿到原件。中文版很有意思，比如刚才那句「六十年代我们爱说」，译者写信问我：「我不明白，您是说因为哥德尔六十多岁了，是个老人，所以他偏执吗？」我不识中文，看不出这本书会译成什么样子。

观众： 哥德尔和维特根斯坦、维也纳学派的关系究竟如何？

戈德斯坦： 很迷人的问题。维特根斯坦是逻辑实证主义者的至高神，他们崇拜他的方式非常有意思。石里克崇拜他。魏斯曼每次维也纳学派聚会都以报告维特根斯坦最新的思想变化开场，「尽管维特根斯坦已声明不为我的转述负责」。他们把他看得如此之重，以至于维也纳有些哲学家推测根本不存在维特根斯坦博士这个人，是他们虚构出来给自己的理论增加分量的。他们花了两年时间读《逻辑哲学论》，它主张全部数学都是句法的。他们读它的方式（十四个人里有九个是犹太人，当然都不信教，我不是说这里面有宗教意味）让我想起犹太人每周读托拉经文的方式，每年从头到尾读完。维特根斯坦是那里的真神。很少有人被允许见他，石里克可以，魏斯曼可以，卡尔纳普问的问题太多，被逐出了，后来魏斯曼太喜欢卡尔纳普，维特根斯坦对他也生了气。他是个真正的大牌。

我想哥德尔，实证主义者中间的柏拉图主义者，对这种对维特根斯坦的崇拜气得要命。他从未见过维特根斯坦，但遗稿里有他没寄出的、关于维特根斯坦的愤怒信件。维特根斯坦在《数学基础评论》里大谈哥德尔，说哥德尔不可能证明他所声称的东西，称之为「逻辑魔术」，相当贬损。哥德尔对此的反应是给卡尔·门格尔写了一封非常愤怒的信。所以我在书里说，他们两人各自是扎在对方元数学里的一根刺，谁也无法接受对方。我想维也纳学派在这里扮演了重要角色。

观众： 您怎么会写这两本非虚构作品，又为什么把斯宾诺莎那本叫《背叛斯宾诺莎》？

戈德斯坦： 这两本书都是应邀写的，都属于丛书。哥德尔那本在诺顿的「伟大科学发现」丛书里，他们直接来问：你想写谁？两套丛书都想找会写作、会讲故事的人，这是新趋势，把抽象观念放进叙事框架。所以诺顿来问我想写哪个伟大的科学发现时，很容易，我要写哥德尔。我从那时起就痴迷于哥德尔，也一直没能问他我想问的那个问题。

叫《背叛斯宾诺莎》，是因为我以一种以前从未有过的方式看斯宾诺莎，这违背我的哲学训练，也肯定违背斯宾诺莎自己的哲学：我把他放在犹太历史里看，放在那个不同寻常的社群里看。有意思的是，他的体系我从二十六岁起就在研究，自以为了如指掌，可当我从这个历史视角、从犹太史的角度看它时，我看见这个体系在我眼前变了形。我看到它在很大程度上是对个人同一性的重新思考，因为他的社群痴迷于身份、犹太身份、什么对一个人是本质性的，他的犹太性是不是本质性的（他论证不是）。整个视角都变了。

我也对十七世纪那场如此激烈的科学与宗教之争很感兴趣。那是启蒙运动之前，而我确实相信斯宾诺莎在很大程度上创造了启蒙运动。他从犹太历史的试炼中思考出路，最终试图解决他深切感受到的犹太苦难问题，那段历史性的苦难，他亲眼见证：他的社群是逃离当时最大犹太浩劫，西班牙和葡萄牙宗教裁判所的难民。他从这里一路思考进了普世主义和世俗主义。他被犹太人逐出教门之后，又遭到整个基督教欧洲的攻击。科学与宗教、信仰与理性之战，在十七世纪打得多么凶。然后我把头从十七世纪抬起来，看看眼下世界上、美国正在发生的事，看看政教分离，心想：我以为这些问题已经解决了，斯宾诺莎已经给我们指了路。这些问题又回到了中心，我觉得这很迷人。所以我打算写一部关于这个的小说。讲得太长了。