Terence Tao at IMO 2024: AI and Mathematics

编者按：2024 年 7 月，第 65 届国际数学奥林匹克（IMO）在英国巴斯举行。曾以 13 岁之龄夺得 IMO 金牌、至今仍是这项纪录保持者的陶哲轩（Terence Tao）应邀回到赛场，为参赛选手做了一场题为「人工智能与数学」的报告，并在报告后回答了现场提问。本文依据现场录音编译整理，仅删去口语枝节与寒暄，论证、例子与细节均照原样保留。

开场：IMO 传奇归来

主持人：各位好。在座的许多选手很年轻，可能不了解陶哲轩教授是谁，我先做几句介绍。他 11 岁第一次参加 IMO，拿到铜牌；第二年再来，拿到银牌；13 岁那年拿到金牌，成为 IMO 历史上最年轻的金牌得主。之后他进入大学，不再参赛。如今他是加州大学洛杉矶分校的教授。可以说，他是 IMO 最耀眼的明星，也是我们这个时代最有影响力的数学家之一。请大家欢迎陶哲轩教授。

陶哲轩：谢谢。很高兴回到 IMO。参加 IMO 的那段日子是我一生中最快乐的时光之一，至今想起来仍觉得温暖。希望大家这几天也都过得愉快，不只是比赛，无论分数高低，还有那些社交活动，这里的主办方向来把活动办得很好。

我今天要讲的是人工智能，更广义地说，是机器对数学的辅助。大家都听说过 AI 正在改变一切。今天早些时候 DeepMind 做了一场报告，介绍他们的新系统 AlphaGeometry 已经能解答一些 IMO 几何题；我讲完之后紧接着还有一场关于「AI 数学奥林匹克」的报告，请大家留下来听。

我要谈的主要是这些工具如何开始改变研究数学。研究数学与竞赛数学不同：不是给你三个小时解一道题，而是花上几个月，有时根本解不出来，只好换一个问题。这和数学竞赛完全是两回事，尽管所需技能有些重叠。眼下这一切都令人兴奋，变革正在发生；但另一方面，其中也有延续性。我们用计算机和机器做数学其实已经很久了，变的只是使用方式。今天的一切，都接续着机器辅助数学的悠久传统。

机器辅助数学的千年传统

陶哲轩：先问一个问题：人类用机器做数学有多久了？答案是几千年。罗马人就用机器做数学，算盘是最早的机器之一，甚至还有更早的。不过算盘没什么意思，它不算聪明的机器。那么计算机呢？人类用计算机做数学有多久了？大约三四百年。这听上去有点怪，因为现代意义上的电子计算机要到 1930 年代和 1940 年代才出现。但计算机并非一直是电子的，在此之前它是机械的，再往前，它是人。

「计算员」（computer）曾经是一种职业，就是负责计算的人。二战期间就有成群的计算员在算弹道之类的东西，其中大多数是年轻女性，因为男人上了前线。她们用加法机工作，另有「程序员」负责告诉她们该做什么。当时衡量算力的基本单位不是 CPU，而是「千女时」（kilogirl）：一千名女计算员这样工作一小时所能完成的计算量。

其实更早，从十八世纪甚至更早开始，我们就在用计算员了。那时最基本的用途是编制数表。大家可能听说过纳皮尔的对数表。要算正弦、余弦之类的值，就得靠计算员来生成数表。我读中学时，课程里还在教怎么查这些表，当时它们刚开始被淘汰。后来当然有了计算器，现在又有了计算机。但我们今天仍在用表，数学研究依赖表，只不过现在叫「数据库」，本质是一回事。数学中许多重要结果最初都是从表里发现的。数论里最基本的结果之一是素数定理，它大致告诉你不超过某个大数 X 的素数有多少个，由勒让德和高斯发现。他们证明不了，却猜到它成立，因为高斯等人有自己的计算员（高斯本人就算得上半个计算员），用来编制前一百万个素数的表，从中寻找规律。

素数定理最终在 1907 年前后得到证明。又过了两个世纪，数论中另一个核心问题，伯奇与斯温纳顿-戴尔猜想（Birch and Swinnerton-Dyer conjecture），这里我不展开，它同样是从大量数表中发现的，这一次是关于椭圆曲线的数据表。今天很多数学家，包括我自己，常用的一张「表」叫「整数数列在线百科全书」（OEIS）。你们也许接触过。很多整数数列你光凭记忆就认得出来，比如我说 1，1，2，3，5，8，13，你就知道这是斐波那契数列。OEIS 是一个收录了几十万条这类数列的数据库。

数学家做研究时，问题里常常自然地附带某个数列。比如有一族依赖于 n 的空间，你去算它们的维数，或者某个集合的元素个数。你算出前五六个或者十个数，输进去和 OEIS 比对。运气好的话，这个数列已经被别人录进去了，而那个人是在研究一个完全不同的问题时发现它的。这就给了你一个重大线索：两个问题之间存在联系。很多前景可观、成果丰硕的研究课题正是这样冒出来的。

科学计算与 SAT 求解器

陶哲轩：数表是我们使用计算机最早的方式之一。而说到用计算机做数学，人们最先想到的是数值运算，正式名称叫科学计算：你要做一次大规模计算，就得做海量的算术，于是外包给计算机。这从 1920 年代就开始了。第一个真正做科学计算的人也许是亨德里克·洛伦兹。荷兰人打算修一座巨型堤坝，想知道水流会怎样变化，交给他去弄清楚，这需要对流体方程建模。他动用了一大批人工计算员来算，为此还发明了浮点运算。他意识到，要让很多人快速完成大量计算，就应当把不同数量级的数用浮点形式表示。

如今我们用计算机对各种事物建模。解大量线性方程、解偏微分方程、做组合计算，也能解代数问题。原则上，奥赛里的很多几何题都可以用科学计算来解：有一些代数软件包，你可以把任何一道几何题，比方说涉及十个点和若干直线、圆，转化成一个含二十个实变量的方程组，直接扔进 Sage 或者 Maple 之类的软件。

遗憾的是，规模超过一定程度后，复杂度就呈指数甚至双指数增长。所以直到不久前，用标准的计算机代数软件包硬算这些题其实并不可行。现在有了 AI 辅助，也许更有希望，今天上午那场报告讲的就是这个。另一类变得相当强大的科学计算工具叫 SAT 求解器，即可满足性（satisfiability）求解器，用来解逻辑谜题。

比如你有十个命题，或者一千个命题，每个非真即假，并且知道一些约束，比如第三个命题和第六个命题都为真时第七个命题必为假。给定一大堆这样的约束，SAT 求解器会把所有信息汇总，判断某种命题组合能否被证明。还有一个更高级的版本叫 SMT 求解器，即「模理论的可满足性」（satisfiability modulo theories）求解器：你还可以引入变量 x、y、z，并假设一些规律，比如存在一个加法运算，满足交换律和结合律。把这些规律和其他事实一起输入，然后硬算：能否从一组有限的假设推出某个结论？

这类工具相当强大，可惜同样完全不具备可扩展性。求解时间也随规模指数增长，一旦命题超过一千个左右，求解器就很难在合理时间内跑完。但它们确实能解决一些问题。举一个近年的成功例子，这个问题恐怕永远只能由计算机解决，我认为没有辅助的人类是做不到的。这就是所谓的「毕达哥拉斯三元组问题」，在这次大规模 SAT 求解计算之前一直悬而未决。

问题是这样的：把自然数染成红蓝两色。是否无论怎么染，总有一种颜色包含一组毕达哥拉斯三元组，也就是能构成直角三角形三边的三个数，比如 3、4、5？以前不知道这是否成立，我们至今没有人类给出的证明，但有计算机证明。现在已经知道，其实不需要全部自然数，只需到 7824 为止：无论怎样把 1 到 7824 分成两个色类，其中一类必含毕达哥拉斯三元组。

这样的染色有 2 的 7824 次方种，不可能穷举，所以必须用点巧劲，但确实做得到。到 7825 就必然出现毕达哥拉斯三元组；而对 7824，存在一种染色使两类都不含三元组。这是可以证明的。我记得这在当时是世界上最长的证明，现在大概排第二。计算花了几年时间，生成了一份证明证书，证明本身长达 200 TB，后来压缩到了区区 86 GB。

三种新工具的总览

陶哲轩：这是用计算机做穷举式的大规模分类讨论，是一种相当显而易见的用法。但近些年，我们开始以更有创造性的方式使用计算机。有三种用法我认为特别令人兴奋，尤其是当它们彼此结合，并与更传统的数据库、数表、符号计算和科学计算结合的时候。

第一，用机器学习的神经网络发现新的联系，找出不同数学分支之间的相关性，这些相关性是人类看不到或者不太可能看到的。

最引人注目的是大语言模型，某种意义上它是机器学习算法的超大版本，能处理自然语言，比如 ChatGPT 和 Claude。它们有时能给出解决问题的可能思路，有时管用，有时不管用。下一场报告里你们会看到更多例子。

还有一种技术刚刚变得普通数学家也能上手，叫形式化证明助手（formal proof assistant）。它是一种语言。大家知道计算机语言是用来写可执行代码、写做事的程序的；而形式化证明助手是用来写「检验」的语言，检验某个论证是否确实成立、是否确实能从前提推出结论。直到不久之前，这类工具用起来都相当烦人，如今变得好用了一些，正在推动许多有趣的数学项目，没有证明助手这些项目根本不可能实现。将来它们会与我前面说的其他工具很好地结合。

我要谈的就是这些更现代的用机器做数学的方式。先从证明助手讲起。

四色定理与开普勒猜想的形式化之路

陶哲轩：历史上第一个真正意义上的计算机辅助证明，大概是四色定理的证明：任何平面地图只用四种颜色就能染色。它在 1976 年得到证明，那时还没有证明助手，按今天的标准它算不上计算机证明。那是一次庞大的计算，一半由计算机完成，一半由人完成。

证明四色定理的思路是对国家的数目做归纳。你要证明，任何一幅巨大的地图，都必然包含某种特定的国家子图；他们列出了大约一两千个特殊子图，每一幅足够大的地图在某种意义上都必含其中之一，这是要验证的第一件事。然后还要验证，每当出现这样的子图，都可以把它换成更简单的东西，而只要简化后的图能四染色，原图就能四染色。

他们得对这一万来个子图逐一检验这两条性质，我记得叫「可放电性」和「可约性」。其中一项可以用计算机做，不过那是早期计算机，每个图都得手工输入程序去检验。另一项则是由「人工计算员」完成的：一位作者的女儿花了无数小时手工检验可约性，极其繁琐。

这个过程并不完美，有很多小错误，表格得不断修订。所以按现代标准它不是计算机证明，也不是计算机可验证的证明。那要等到 1990 年代，出现了一个只用大约 700 个图的更简单证明。这时所有需要检验的东西都有了非常精确、定义明确的性质清单，你可以用自己喜欢的语言，C 或者 Python，写几百行代码，用现代计算机几分钟就能验证完。

而真正把它写成一路追溯到数学公理的证明，是 2005 年用一种叫 Coq（现已改名为 Rocq）的证明助手语言完成的。这是最早的形式化证明之一。你可以看到，从证明首次出现到我们能用计算机完整验证它，中间隔了很长的时间。

另一个著名例子是关于球堆积的开普勒猜想。这是十七世纪开普勒提出的老问题，表述很简单：取一大堆单位球，要尽可能高效地填满三维空间。

有一种显而易见的堆法，三角堆积，就像杂货店里堆橙子那样；还有一种对偶的堆法叫立方堆积，密度相同，大约是 74%。问题是：这是最优的吗？这出人意料地困难。二维情形下，证明六边形堆积最优并不太难。而八维和二十四维的答案直到最近才由维亚佐夫斯卡（Viazovska）的杰出工作给出，她昨天大概讲过。除了一维这个平凡情形，三维是我们知道答案的唯一其他情形。

它的证明难得出奇。同样，这个猜想没有完全可供人类阅读的证明。不过有一套策略。困难当然在于球有无穷多个，密度又是渐近量，所以它先验上不是可以直接扔给计算机的有限问题。但你可以尝试把它化为有限问题。托特（Tóth）在 1950 年代提出了一个策略：任何一种堆积都把空间剖分成一些多面体，叫沃罗诺伊区域（Voronoi region）。一个球的沃罗诺伊多胞形，就是所有离这个球心比离其他球心都更近的点的集合。这样空间就被分成了一个个多胞形，各有体积，还可以数它们的面数、算表面积等等，每个都有一组统计量。

堆积密度与这些区域的平均体积密切相关。如果你能说清这些多胞形的体积平均起来如何表现，至少能得到堆积效率的某个上界。你可以尝试建立多胞形之间的关系：一个多胞形很大，或许就迫使旁边的多胞形很小，于是也许能找到把一个多胞形的体积与另一个联系起来的不等式。那么就该收集大量这样的不等式，再做线性规划之类的事，希望能从中推出那个神奇的正确密度 π/√18。

人们试过。尝试很多，有人甚至宣称成功，但没有一个被接受为真正的证明。

问题最终由托马斯·黑尔斯（Thomas Hales）和合作者率先解决。他用的基本是同一策略，但做了大量技术上的调整。他把沃罗诺伊胞换成了稍微复杂一些的胞；不取体积，而是发明了一个叫「得分」（score）的量赋给每个胞，它是体积加上或减去许多细碎的、临时性的修正项。目标仍然是在这些得分之间建立大量线性不等式，最终得到密度上界，并希望恰好命中最优密度。

这个方法非常灵活，实际上太灵活了，可以尝试的东西太多，得分函数的设计方式数不胜数。黑尔斯写过这样一段话，大意是：萨姆·弗格森（Sam Ferguson）发现，每当极小化泛函遇到困难，他就可以改一改得分函数再试一次。可是这样一来，先前验证过的东西都得重做，得分函数越改越复杂。他们为此干了将近十年。函数越来越复杂，但每一次修改都为工作省下了几个月到几年的时间。这种没完没了的修修补补在同行中很不受欢迎：每次在会议上报告进展，极小化的函数都不一样；更糟的是，新函数与早先论文里的略有不合，还得回头去给旧论文打补丁。

但他们最终做成了。1998 年他们宣布终于找到了一个得分函数，满足一大批含 150 个变量的线性不等式，把它极小化后得到了想要的结果。他们起初并没打算做成计算机辅助证明，但随着项目越来越复杂，动用越来越多的计算机就成了必然。

按 1998 年的标准，这个证明极其庞大：250 页笔记，外加 3 GB 的程序和数据。它的审稿过程非常艰难。论文投给顶级期刊《数学年刊》，由 12 位审稿人组成的小组审了四年。最后他们说，对证明的正确性有 99% 的把握，但无法认证计算机计算的正确性。他们做了一件很不寻常的事：发表论文时附上一条编者的保留声明，说明这一点。这条声明后来已被撤掉。当时围绕「计算机辅助证明算不算真正的证明」争议要大得多，如今我们对此已经坦然许多。

但即使发表之后，它究竟是不是证明仍然有人怀疑。这大概是第一个备受瞩目的重大问题，人们有强烈的动机要把它彻底形式化，用形式化证明语言一路追溯到第一原理。黑尔斯为此创建了一种语言，确切地说是在已有语言基础上做了改造，项目命名为 Flyspeck。他估计形式化这个证明要花二十年，实际上在 21 位合作者的帮助下，「只」用了十二年，成果于 2014 年发表。

现在我们对这个结果有了完全的信心，但过程相当痛苦。

Scholze 与液体张量实验

陶哲轩：再来看最近几年。我们已经摸索出一套更好的形式化工作流程，仍然繁琐，但在改善。彼得·舒尔策（Peter Scholze）是一位非常杰出的年轻数学家，菲尔兹奖得主，成就众多，其中之一是开创了一个前景极佳的数学领域，叫凝聚数学（condensed mathematics）。它把代数、范畴论以及代数的全套工具引入泛函分析，也就是巴拿赫空间之类函数空间的理论，而分析学的这个分支一直对代数方法很有抵抗力。

这个领域原则上可以用代数方法解决泛函分析中至少某一类问题。于是他建立了一整套范畴，里面是所谓的凝聚阿贝尔群和凝聚向量空间。「凝聚」是什么意思我就不解释了。他的论点是，我们在研究生课程里学的那些函数空间范畴都不对，或者说不是最自然的，存在性质更好的范畴。

他建立了这套理论，但其中有一条极其重要的消灭定理需要证明。我把它写在幻灯片上了，不过不打算解释这些符号和术语。总之他需要计算某个范畴论意义上的群，证明它在某种技术条件下消灭。没有这条定理，整套理论就没有任何有趣的推论，它是理论的地基。他为此写了一篇博客，说自己花了整整一年为这条定理的证明着魔，几乎要发疯。最后论证是写在纸上了，但没有人敢去核对细节，所以他自己仍有挥之不去的疑虑。

他写道：「凝聚形式体系能否卓有成效地应用于泛函分析，成败系于这条定理。这条定理在基础上极端重要，所以 99.9% 的把握是不够的。」他说，很高兴看到世界各地有很多研究凝聚数学的讨论班，但都在这条定理的证明前止步，「这个证明实在不好玩」。他说：「这可能是我迄今最重要的结果，最好确保它是对的。」所以他也有强烈的动机，用一种更现代的证明助手语言 Lean 把这条定理形式化。

Lean 近年发展很快，它附带一个由众人协作建设的庞大数学库。从数学公理出发推导一切，越到高深处越繁琐，而这类数学非常高深；Lean 的中心数学库则已经证明了大量中间结果，比如本科课程里的微积分、群论的基本定理、拓扑学等等。

这些都已形式化，所以你有了一个立足点：不是从公理出发，而是大致从研究生水平的数学教育出发。离目标仍有很大距离，但有帮助。不过为了形式化这条定理，他们还得添加很多东西。数学库当时不完备，现在也仍不完备，同调代数、层论、拓扑斯理论等许多领域都得往库里补。但仅仅十八个月，他们就完成了形式化。

证明基本正确。发现了一些小的技术问题，但没有重大纰漏。他们找到了一些漂亮的简化；有些技术步骤实在太难形式化，只好另找捷径。不过这个项目的价值更多是间接的。首先，它极大地扩充了 Lean 的数学库，现在这个库处理抽象代数的能力比以前强得多。其次，项目中搭建的一些配套软件，后来的形式化项目都在用，包括我自己做的项目。

举例来说，这个项目中建立了一种叫「蓝图」（blueprint）的工具。拿一个五十页的大证明直接去形式化非常痛苦，你得把整个证明装在脑子里。而我们认识到，正确的流程是先给大证明写一份蓝图，把它拆成几百个小步骤，每一步单独形式化，最后拼起来。

也就是把庞大的论证切成许多小块，先把这个写出来，然后团队里不同的人去形式化论证的不同部分。作为形式化的副产品，他们也做出了一份非常漂亮的蓝图。如果你作为人类想读这个证明，蓝图现在大概是最好的去处。

这个项目还有一个衍生成果。现在有了几万行长的形式化证明，人们开始尝试把它转换回人类可读的证明。目前已经有这样的工具：拿一个用 Lean 写的证明，比如这里有一道拓扑问题的证明，把它转换回人类可读的形式。你看到的这段文字就是从形式化证明由计算机生成的。它看上去像人写的证明，用同样的数学语言，但互动性强得多。你可以点击任何位置（我这里是静态 PDF，演示不了），它会告诉你此处的假设是什么、要证的是什么、变量是什么。哪一步写得太简略，你可以展开，它会解释这一步从何而来，想追溯到公理也可以。

我觉得这太好了。我认为将来教科书会以这种互动方式写成：先形式化，然后做出比现在互动性强得多的教材。

PFR 项目：三周形式化的协作实验

陶哲轩：受此启发，我自己也启动了一个形式化项目。去年我和几位合作者，包括今天在座的蒂姆·高尔斯（Tim Gowers），解决了一个组合问题。具体是什么问题不太重要：Z 模 2 的 n 次幂（所谓汉明立方体）里有一个子集，满足一个叫「小倍增」的性质，那么它的大小有一个上限。陈述本身无关紧要。

我们证明了它，证明约 33 页。我们以近乎创纪录的速度完成了形式化，大概至今仍是形式化得最快的研究论文：三周，一个约二十人的团队，用的正是舒尔策项目中开发的那套蓝图机制。它让证明这件事变得开放、协作得多，还有各种漂亮的可视化。如前所说，第一步是把大定理拆成许多小块。

我们的定理叫 PFR，原因就不解释了。它对应这张图最底下的那个小气泡，然后我们引入其他所有陈述。PFR 的证明依赖于前面若干陈述，这些陈述又依赖于更前面的，于是形成一张依赖图，气泡按形式化状态染成不同颜色：绿色气泡表示这条陈述已经在 Lean 中形式化证明；蓝色表示还没形式化，但已经可以动手了，所有定义都已就位，只等人去做；白色表示连陈述本身都还没形式化，得有人先把陈述写进去。

这样就得到一棵任务树。这个项目的妙处在于，可以让许多人各自独立地处理图上的不同部分。每个气泡对应一条陈述，你不必理解整个证明，只需做好自己那一小块。这本是一个组合问题，但贡献者中有做概率的，还有根本不是数学家的，他们是程序员，只是特别擅长解这种小谜题。每个人挑一个自己觉得能做的气泡去做，三周就全部完成了。这是一个非常令人兴奋的项目。

数学界通常不会有这么多人合作，我见过的最多也就五个人左右。因为大项目合作时，你得相信每个人的数学都是对的，人数超过一定规模就不可行了。但在这样的项目里，Lean 编译器会自动检查，任何编译不通过的东西都上传不了，会被拒绝。所以你可以和素未谋面的人合作。我因此认识了很多人，还为其中不少人写了推荐信。

这是证明的一小块，是 Lean 证明的样子。懂这门语言的话它是可读的，但看上去有点不寻常。它确实把证明这项任务拆解成了多种互不重叠的技能：有人把握全局，把问题组织成小块；另一些人未必懂全部数学，但可以一次做一小块。

我认为今后这会越来越成为做数学的常见方式。它现在仍然费力，工具在改善、在变得更友好，但你还是得有一定的编程功底。我估计形式化一个证明比手写它要多花十倍左右的时间。但另一方面，如果你想修改证明，情况就不同了。比如这条定理里原本有一个常数 12，我们后来把它改进到了 11，得到一个略强的定理。通常这样做得重写整个证明，或者把 12 复制粘贴成 11，然后再检查一遍有没有出错。

而在我们形式化之后再做这个改进，只花了几天。我们在某处把 12 改成 11，编译器就抱怨说有五个地方不通过了，明确指出哪一块出了问题，我们只需做针对性的修补。所以对某些特定类型的数学工作，形式化方法实际上已经更快了。现在还有不少大型形式化项目正在进行。

最大的是凯文·巴扎德（Kevin Buzzard）的项目，他刚拿到一笔大额资助，要用 Lean 形式化费马大定理。他说完成证明中最重要的部分需要五年，并不声称五年内做完全部，但有趣的那部分已经在路上了。以上就是形式化证明助手。

机器学习发现纽结不变量的联系

陶哲轩：接下来谈机器学习。这是用神经网络预测各种问题的答案，用法很多。第一种我准备跳过，就是用神经网络猜测微分方程的解，这是偏微分方程领域一个非常令人兴奋的新工具，但今天不讲。

我要讲的是机器学习在纽结理论中的一个应用。纽结理论是数学中很有趣的一支，它把许多彼此不怎么交流的数学领域汇聚到一起。一个纽结就是空间中一根闭合的绳圈，或者说一条闭曲线。如果能把一个纽结连续变形成另一个，过程中绳子不许穿过自身，两个纽结就是等价的。

纽结理论的基本问题是：两个纽结何时等价？给你两个纽结，有没有办法把一个变成另一个？通常的处理方法是发展所谓的纽结不变量：一些附在纽结上的数，有时是多项式，无论你怎样连续变形纽结，它们都不变。所以两个纽结不变量不同，就不可能等价。纽结不变量有很多种。有一种叫「符号差」（signature）：把纽结压平，数交叉点，看每处交叉是上穿还是下穿，据此造一个矩阵，最后得到一个整数，这就是符号差，属于纽结不变量的一种。

还有一些著名的多项式，琼斯多项式和亚历山大多项式，它们与数学的许多领域有关，这里不谈。另外还有来自几何的双曲不变量：取纽结的补集，它实际上是一个双曲空间，自带几何结构和距离概念，可以算体积和其他不变量，这些是实数或复数。所以每个纽结既有符号差这样的组合不变量，也有双曲不变量这样的几何不变量。这里列出了一大批纽结及其各种双曲不变量，比如双曲体积、同调尖点形状等等，都是实数或复数。但没有人知道这两类不变量之间有什么联系。这是两套各自独立的纽结统计量，彼此之间没有已知的关联。

直到最近，人们才开始用机器学习攻这个问题。他们建立了包含几百万个纽结的数据库（这本身已经不是小事），用它训练神经网络。结果发现，训练之后，把所有双曲几何不变量输进去，大约 90% 的时候它能猜中正确的符号差。这就得到了一个黑箱，它告诉你符号差以某种方式藏在这些几何不变量里，但不告诉你怎么藏的。

不过这仍然有用，因为有了黑箱你就可以摆弄它。他们接下来做的是一个非常简单的分析，叫显著性分析（saliency analysis）。这个黑箱有大约二十个输入，对应每个双曲不变量，一个输出，即符号差。有了黑箱，你可以逐个调整输入：改动某一个输入，输出有多大可能随之改变？他们发现，二十个输入里只有三个对输出起了真正重大的作用，另外十七个几乎无关。而且这三个并不是他们预想的那几个：比如他们本以为体积很重要，结果体积几乎无关紧要。

真正重要的三个是所谓的经向平移（longitudinal translation）以及纬向平移（meridional translation）的实部和虚部。找出最重要的输入之后，他们可以直接把符号差对这三个量作图，然后用肉眼看，不靠神经网络而是靠「人脑网络」，一看就发现了一些明显的规律。盯着这些图，他们提出了关于背后机制的猜想。这个猜想后来被证明是错的，不过他们正是用神经网络证明了它错。但从它出错的方式，他们能够加以修正，找到了一个修正版的猜想，这个版本确实解释了这一现象。找到正确的陈述之后，他们就把它证明了。所以现在对于符号差为什么与这几个统计量如此密切相关，已经有了理论解释。

我认为这正是机器学习在数学中越来越常见的用法。它不直接替你解决问题，但给你许多非常有用的提示，告诉你联系在哪里、该往哪里看。真正建立联系的仍然得是人。

大语言模型：惊艳与不可靠并存

陶哲轩：最后是大语言模型，它最引人注目，新闻最多。神经网络已经存在二十年，大语言模型也有五年左右，但直到最近，它们的输出才达到接近人类的水平。

大家大概都听说过 GPT-4，这是 ChatGPT 目前的模型。GPT-4 发布时有一篇著名的论文描述它的能力，其中给它喂了一道 2022 年 IMO 的题目，是稍作简化的版本，研究过 2022 年 IMO 的人会注意到形式不完全一样。对这道题，你把题目给它，它确实给出了完整正确的解答。它真的解出了一道 IMO 题。可惜这是一个精挑细选的例子。他们测试了几百道 IMO 级别的题，成功率大约只有 1%。这道题它解出来了，而且还得把题目用恰当的格式呈现才行，但即便如此仍然相当惊人。

另一方面，这些工具有个奇怪的特点：人类觉得难的事，AI 有时轻松做到；人类觉得容易的事，AI 却常常做不好。它解决问题的路数与人类完全不在一个方向上。同一篇论文或者同一次演示里，他们让同一个模型做一道基本算术：7×4+8×8。模型只是根据输入猜最可能的输出，于是猜答案是 120。然后它停了一下，说也许该解释一下为什么是 120，于是一步步来算，可这一算，算出的真正答案是 92，不是它一开始给的那个。你再问它「可你刚才说是 120」，它说：「哦，那是笔误，抱歉，正确答案是 92。」

所以它们并不是从第一原理出发解决问题，只是在输出的每一步猜测接下来最自然该说什么。惊人的是这有时管用，但常常不管用。怎样让它更准确，仍在探索中，人们在尝试各种办法。可以把这些模型接到其他更可靠的软件上，接下来那场报告里你们就会看到一个大语言模型，它不自己做计算，而是把计算外包给 Python。

另一种做法是强迫语言模型只能输出正确答案：要求模型用证明助手语言输出，编译不通过就打回去让 AI 重试。还可以直接教它我们解 IMO 题的那套方法：先试简单例子、反证法、一步步严格推导等等。人们在尝试各种路子。它们现在离解决大多数奥赛题还差得远，更不用说研究问题了，但我们在进步。

除了直接解题，它还可以充当灵感的缪斯，这方面我自己也用过。我拿各种问题做过实验。有一个组合问题，我试了几种方法都不行，于是作为实验，我问 GPT：「解这个问题你还会建议哪些技巧？」它列了十种，其中大约五种我已经试过或者明显没用。但有一种我没试过，就是对这个问题用生成函数。它一提我就意识到这是正确的思路，只是我漏掉了。

所以作为一个可以对话的对象，它有些用处。现在还不算好，但也不是全无用处。

还有一类 AI 辅助，对证明助手已经非常有用。前面说过，写形式化证明极其繁琐，就像任何挑剔的计算机语言一样，语法必须完全正确，漏一步就编译不过。但有工具可以帮忙。我用的是 GitHub Copilot，你写下半个证明，它会猜下一行是什么。大约 20% 的时候它猜的接近正确，你就可以直接接受。

比如这个例子，我要证明这条陈述，灰色的行是 Copilot 建议的。第一行没用，但第二行（你们可能看不太清）确实解决了这个问题。所以你不能照单全收，因为未必能编译；但如果你本来就知道代码大致怎么写，它能省很多时间。这些工具在进步。目前如果一个证明只有一两行，它们大概能自动补全。现在还有人在试验迭代的做法：AI 提出一个证明，喂给编译器，编译出错就把错误信息传回去。用这种方法，四五行长的证明已经开始能证出来了。

当然大证明有几万行，所以离「证明立刻自动形式化」还差得很远。但它已经是有用的工具了。

展望：探索问题空间的新数学

陶哲轩：那么我们现在处于什么位置？有人希望几年内就能用计算机直接解决数学问题，我认为我们离那一步还很远。对于范围很窄的问题，可以搭建专门的 AI 来处理一小类问题，但即便如此也不完全可靠，只是有用而已。

至少在未来几年里，它们基本上会是非常有用的助手，超越我们已经熟悉的那种蛮力计算辅助。人们在尝试各种有创意的做法。有一个方向我特别期待，虽然还没有真正成功，就是希望 AI 能变得很擅长提出好猜想。纽结那个例子已经算是一点雏形，它能猜出两套统计量之间的联系。所以人们期待，建立巨大的数据集喂给 AI，它就能自动生成各种数学对象之间的漂亮联系。我们现在还不知道怎么做到这一点，部分原因是没有这样的海量数据集，但我认为这终将可能。

还有一件令我兴奋的事，是一种目前尚不存在的数学。现在因为证明定理是如此痛苦、艰辛的过程，我们一次只证一条定理，效率高的话也许两三条。但有了 AI，你可以想象，将来不是去攻一个问题，而是取一千个类似的问题，对 AI 说：「用这个技巧去试试这一千个问题。」它回报说：「这个技巧能解决其中 35%。换这个技巧呢？能解决这个比例。两个结合起来呢？能解决这么多。」你就可以开始探索问题的空间，而不是逐个孤立地处理问题。

这种事现在要么根本做不了，要么得花几十年、几十篇论文，慢慢摸清各种技巧能做什么、不能做什么。而有了这些工具，你真的可以开始在前所未有的规模上做数学。所以我认为未来会非常令人兴奋。当然，我们仍会用老办法证明定理，而且必须如此：如果我们自己不会做这些事，就无法引导这些 AI。但我们将能做到许多现在做不到的事。

我就讲到这里，谢谢大家。

问答：数学基础、早慧与选题

主持人：我们的日程很紧，但据说还有时间回答大概三个问题。请举手。那边有一位。

提问者：谢谢，这场报告非常精彩。我特别喜欢关于数学形式化的部分，但有一个人您没有提到，就是沃埃沃茨基（Voevodsky）。他因为自己犯过一个错误而离开代数几何，转而去形式化同伦类型论。想请问您是否研究过这方面，有什么看法？

陶哲轩：关于沃埃沃茨基，他确实担忧数学某些领域存在危机，包括他自己开创的一些领域：证明过于抽象、过于精深，以至于根本无法核实它们完全正确。于是他提议把数学的基础换成同伦类型论，它更稳健：即便你改变底层的数学公理，在这套理论中证明的许多东西仍然成立。有一些证明助手语言就是基于同伦类型论的。Lean 有意不这样做，因为 Lean 的目标是形式化大量传统数学，而那些数学不是用这种语言写的。

我确实希望将来会有多种证明助手语言，各有长短。我们目前还缺一样东西：把一种语言里的证明自动翻译成另一种语言的方法。我认为这正是 AI 会大显身手的地方之一。一旦有了它，就算你对数学基础持不同的哲学立场，我们也有望把在一种语言里形式化的证明翻译到另一种语言，让所有人都信服，希望也包括沃埃沃茨基。

总之，形式化数学有多种路径，我们眼下当然不该急于固定在某一个标准上。

主持人：好，那就随机选一位。

提问者：我的问题与报告主题不太相关。我最近在申请博士，教授们给我的建议大体上是「读得越久越好」。看来大家普遍认为，数学家需要慢慢成长，才能驾驭大的思想。从这个角度看，您怎么看待自己那么小就上大学的决定？它对您作为数学家和作为一个人有什么影响？

陶哲轩：我在中学、本科和研究生阶段都遇到了非常好的导师。我不认为这是一场赛跑。准备好了就去上大学，不该因为有人告诉你「这件事需要 X 年」就去做。每个人情况不同。对我来说，有一点非常重要：我 13 岁上本科，但那所大学离我家很近，所以我住在父母家里，他们开车送我去上每一堂课，跑了很多路。要是没有这个条件，我想我不会有好的体验。

所以真的因人而异。我很小就上了大学，不等于每个人都该这样。这个问题没有单一的答案。

提问者：谢谢。再问一个更一般的问题：您在数不清的数学领域都有贡献，您是怎么选择下一个研究课题和想解决的问题的？另外，您的埃尔德什数（Erdős number）是多少？

陶哲轩：埃尔德什数是二，这个好答。至于怎么选题，我其实也说不清。职业生涯早期是导师给我建议问题；如今往往是机缘巧合。数学是一项非常社交化的活动，你要参加很多活动。

比如这场报告之后我就要去爱丁堡参加一个数学会议，会和很多人交流一个与 PFR 猜想相关的领域。很可能会有一些有趣的数学对话，也许从中就冒出一些研究问题。我确实有一些长期项目，有些想解决的东西。但我越来越发现，真正的问题往往来自与其他数学家的交谈。比如两年前我还不知道自己会花这么多时间谈论 AI。

我想未来会要求人们更灵活。仍然会有人专攻一个课题，只做这一个，成为某某领域的世界级专家；但我认为会有越来越多的人随时间在不同领域间游走，每隔几年就通过与人交流发现有趣的新数学。

主持人：我们得进入下一个环节了。下一位讲者是来自 XTX 的西蒙·科伊尔（Simon Coyle），他将介绍 AI 数学奥林匹克。