Terry Tao "How to think like a mathematician" presented by the UCLA Curtis Center

编者按：2026年圆周率日，加州大学洛杉矶分校柯蒂斯数学与教学中心举办纪念活动，邀请该校数学系教授、2006年菲尔兹奖得主陶哲轩作题为《像数学家一样思考意味着什么》的演讲，并与在场教师、研究者展开对谈。对谈由柯蒂斯中心主任希瑟·达拉斯主持，加州州立大学北岭分校数学系主任凯特·史蒂文森等人参与提问。本文依据现场录音编译整理，仅删去口语枝节与寒暄，论证、例证与语气均按原貌保留。

圆周率日的开场

主持人：今天我们要讨论的核心问题是：怎样才能让学生真正深入地思考数学概念。我们先请一位讲者来给大家一些思考的养料，今天是圆周率日，不妨说是「派」的养料。之后由柯蒂斯中心主任希瑟·达拉斯上台主持讨论。希望大家认真听，稍后我们有机会交流看法。

先介绍今天的讲者。他是数学系教授，文理学院詹姆斯与卡罗尔·柯林斯讲席教授。我想说三点一四条关于陶教授的趣事。第一，他是国际数学奥林匹克迄今最年轻的参赛者，第一次参赛时只有十岁。第二，他二十四岁被UCLA聘为正教授，至今仍是本校历史上最年轻的正教授。第三，陶教授已经出版了十六本书，而即将面世的新书《六个数学要义》（Six Math Essentials）是他的第一本数学科普书。第零点一四条：今天他要讲的题目是《像数学家一样思考意味着什么》。请大家掌声欢迎。

陶哲轩：谢谢安德烈，很高兴来到这里。严格说来，我算是菲尔·柯蒂斯的同事。我一九九六年来UCLA，正好是他退休前后，具体日期记不清了。所以很遗憾，我和他没有太多交往，但他在我们系里是一位传奇人物。

我今天是来给这个活动带一点数学家的视角。像数学家那样思考，我自己非常享受，这是一样很珍贵的东西，我希望有更多学生能够接触到，而现实常常令人惋惜。

公众对数学家的三种误解

陶哲轩：我想，大多数人甚至不知道数学家究竟在做什么。律师、医生、工程师，你多少有点概念；数学家呢，人们脑子里的画面就不太准确了。

每个数学家都有过这样的经历：聚会上很尴尬。别人问「你做什么的」，你说「我是数学家」，对方的回答几乎总是：「哦，我上学时数学很差。」当然，偶尔也会碰上特别热情的回应，但前面那种是中位数。

有些人把数学家想成巫师，觉得我们掌握了某种魔法咒语，用那些古怪的符号就能对人施法。有些人觉得数学是一门极其复杂的技术活，只有一个正确答案和无数错误答案，错一步整个东西就崩塌，而我们成天在脑子里抛接各种复杂方程。还有人受好莱坞影响，以为我们眼前会浮现出满屏公式。也许有人真的会，反正我不会，我们做数学的时候，眼前并不会飘着这些东西。

这些原型化的形象，我觉得都不是常态。我们大多数人相当普通。

这在很多方面是不幸的。一方面，被人当成天才，多少有点酷；另一方面，这给学生造成了实实在在的问题。他们读到数学家解决大难题、聪明绝顶的故事，然后自己面对一道数学题，一次做不出来，或者学一个难的课题总是学不会，于是在数学变得有趣之前就放弃了。如果你教给学生的是「数学家是快乐的天才」，而他们自己不觉得是天才，那他们就不会觉得自己是数学家。

所以我想分享一点做数学家的真实感受。这些东西每个数学家都知道，只是我们说得太少了。我们应该多做一些面向公众的工作，我们在象牙塔里待得也许太久了。

前严格、严格、后严格

陶哲轩：我思考「像数学家一样思考」的一个框架是：这种思考其实分成好几个阶段。这也是数学思维难以内化的部分原因，因为它是一个相当复杂的演化过程。我喜欢把数学分为前严格（pre-rigorous）、严格（rigorous）和后严格（post-rigorous）三个阶段。

前严格阶段大致对应从幼儿园到高中，或者再往后两年的教育。你学的是例子、直觉、公式和计算，可以犯错，也并不真正理解发生了什么，对一切只有模糊的把握。

然后你上了大学，如果读数学专业，就会碰上那些令人生畏的证明课，开始学习严格思考。这时候解题只剩一种正确方法，错误方法却有无数种。你原先那些前严格的直觉会遭到轻视，老师会说：「不不，那是小孩子的东西，现在才是真正的数学。」

但人们不太了解的是，其实还有第三个阶段，我称之为后严格阶段。因为大多数人根本没有走到那一步。一旦你掌握了严格而精确地做数学的方法，你反而会回过头来重新审视自己的直觉，思考方式变得更加流动、更加随意，但你心里知道，只要愿意，你随时可以把挥手比划的论证转化成严格的证明，并且能在两者之间来回切换。这基本上就是研究生阶段。这才是数学里好玩的部分，遗憾的是大多数人看不到它。

反证法：从课间游戏到哈代的弃着

陶哲轩：我用一个例子来说明这几个阶段各是什么样子。数学里有一个基本概念叫反证法（proof by contradiction），通常被认为不太直观，学生很难掌握。可实际上，小学生在课间休息时就会自己把这个概念教给自己。

我小时候玩过这样的傻游戏：一群人围在一起，比谁能说出最大的数。我说十亿，你说一万亿，他说一千万亿，来来回回，一万亿万亿万亿，随便说。游戏一直进行，直到有人意识到：无论谁说出什么数，下一个人总可以说这个数加一。总会有人想明白这一点。到那时，他们就明白了不存在最大的数，因为不管你选哪个数，总能加一得到一个更大的。

他们用的就是反证法。他们证明了最大的数不可能存在，因为如果存在，它就得比自己加一还大，这不可能。这是他们自己发现的，但他们说不出来，没有这套语言。这就是前严格阶段。

然后你上了高中的进阶课程，再到本科，开始接触证明。证明有各种样式。有直接的正向证明：给你一道题，有一些前提条件，你依次施加各种数学变换，从A走到B，从前提走到结论。我相信你们都做过这类题，我就不展开了。也有直接的逆向证明：从你要证的东西出发，化简、变形、消项，做一通代数，最后回到出发点。这是典型的严格阶段的数学，做的过程中不允许出错。

但偶尔，老师会教你一个反证法的证明，那感觉非常古怪。比如要证明根号二是无理数，即它不能写成两个整数之比。你说：「假设它是有理数。」然后推导一阵，最后得出的结论和前面说过的某句话矛盾了。因此，最初的命题成立，根号二是无理数。这对学生来说真的很难。当然有些学生能懂，但肯定有很多学生把它和自己在课间自学的那种「矛盾」体验联系不起来。感觉完全不一样，其实是同一个概念，只是教法大不相同。

等你成了职业数学家，反证法就是天天用的东西。我们根本不觉得它有什么巧妙之处，它只是你可以走的一步棋。如果你怀疑某件事是否成立，我们很自然就会假设它成立，看看会发生什么；如果推出了矛盾，就知道它不可能成立，于是它必定为假。对我们来说，这就是棋局里的一步。

哈代（G. H. Hardy）有一段很妙的话。归谬法（reductio ad absurdum），也就是反证法的拉丁文名字，是数学家最精良的武器之一。它比任何棋类弃着都高明得多：棋手可以牺牲一个象或一个车来换取局面优势，而数学家可以把整盘棋都押上去，然后照样赢。

所以，同一个概念，有三种截然不同的思考方式。这是「像数学家一样思考」的第一课。

数学是失败最廉价的学科

陶哲轩：第二课，前面几位发言人也提到过：数学是一个可以失败的地方。这恰恰与我们通常的教法相反，尤其在严格阶段，你弄错一个正负号，满纸红叉，扣分扣分。

但和其他学科相比，数学里的失败其实非常非常便宜。你是工程师，设计一座桥，出了错，那是昂贵的错误。你是心脏外科医生，切错了地方，也是非常糟糕的错误。可你在解一道数学题，证明没走通，这是极其廉价的错误，重来一次就是了。

弗拉基米尔·阿诺尔德（Vladimir Arnold）说过，数学可以看作物理学中实验很便宜的那一部分。当然，有了现在的人工智能，那就另说了。

正因为如此，研究生阶段学到的一件事就是：不停地尝试，不停地犯错，就算你怀疑某个办法大概率行不通，也要去做，因为它失败的方式常常很有价值。这种心态我们已经内化了，习以为常，可几乎没有别人明白这一点。在几乎所有其他学科里，人们都害怕犯错；而在数学里，我们有失败的自由，这是非常珍贵的东西。

这里存在一个脱节：我们评判数学的解答和评判数学的过程，标准是不一样的。解答必须正确，过程却可以充满失败，而且失败很重要。

给大家举一个真实的例子。几个月前，一个学生来找我请教一道题，题目本身不重要。他手里有一条提示，说用泰勒近似（Taylor approximation）这个技巧可以解决，我也不必解释泰勒近似是什么。他学过泰勒近似，而且学了三遍：三本教材，给了三个不同的泰勒近似公式，他不知道该用哪个，于是就瘫在那儿了。他说：「我卡住了，不知道怎么办。」他遭遇的就是有人所说的分析瘫痪（analysis paralysis）：选项太多，不知道选哪个。

我只说了一句很简单的话：第一个选的不管用没关系，随便挑一个试。也许行，也许不行，也许部分可行，但试完你就能看出下一步该怎么走。这一句话就把他解开了。我没有给任何进一步的提示，他需要的只是一张允许失败的许可。之后他大概就去做题了，没再回来找我。

这是非常基本的一课，可我们常常不教，因为答案的正确性也很重要，两样都得教。但科学家们是明白这一点的。尼尔斯·玻尔（Niels Bohr）有句名言：什么是专家？专家就是在一个很窄的领域里把所有能犯的错都犯过一遍的人。如果某些错误你过去没犯过，将来就会犯。所以现在就去犯这些错，把它们放进过去，这样将来才不会再犯同样丢人的错误。这是我们工作过程中极其重要的一部分。

只发表胜利的文化与第十三项的教训

陶哲轩：遗憾的是，我们不报告这些东西，我们的文化在这方面并不完善。发表论文的时候，我们通常不写那些走错的弯路，不写迷失的感受，虽然迷失其实是数学家的默认状态。偶尔有少数人会写，但通常我们只发表胜利。

于是你读那些著名数学家的论文，比如菲尔兹奖得主玛丽亚姆·米尔扎哈尼（Maryam Mirzakhani），她已经比我们大多数人诚实了，但即便如此，她的论文里也全是胜利。然后你回头做自己的工作，证明总是走不通，你就觉得自己是个冒牌货。所以我认为，我们应该把公开失败变成一件更平常的事。

我举一个例子。几年前我研究一个偏微分方程的问题，问题本身不重要。当时著名数学家让·布尔甘（Jean Bourgain）在这个问题上下过很大功夫，我们拿到了一个部分结果，但想要完整的。我们有点自负，觉得几个月就能搞定。我和另外四个人合作，试了一个疯狂的想法，居然成功了，太棒了。我们甚至已经在订餐厅，准备开香槟庆祝。

然后我们开始写证明。我的一位合作者比我们其他人都仔细，他注意到：我们把某个东西展开成了十三项，正确地控制住了其中十二项，却把第十三项忘了。我说：「行，我来处理，加到论文里就是了。」结果一查，这第十三项我们根本控制不住。它恰恰是最糟糕的那一项，我们不知怎么把它漏掉了。我们本以为是小事，可无论怎么做，就是甩不掉这一项。试了各种办法，证明就是补不上。

等我们意识到这一点，已经在这个问题上花了六个月，餐厅的预订也取消了。但我们投入太深，就一直做下去。最后花了两年才解决这个问题，用的是一条完全不同的路。而这篇论文是我最引以为豪的论文之一，还得了奖。如果没有早期那次错误的「成功」，我们早在解决问题之前就放弃了。所以有时候，犯错甚至是件好事。这篇论文发在一份叫《数学年刊》（Annals of Mathematics）的小刊物上，我和四位合作者都很满意。

这就是失败的自由。

问蠢问题：斯坦不等式的反例

陶哲轩：失败的自由有一个推论：要在数学上取得进展，你必须问很多很多非常蠢的问题。我们常常把学生训练成不十分有把握就不开口，这往往是错误的做法。学生解题时会问一些看起来很傻的问题，你知道答案的话会想：这还用问？太蠢了。但这些问题真的很重要，必须回答。

我在幻灯片上列了几个学生可能问的傻问题。数学史上一些最深刻的进展，就来自数学家问了类似的傻问题，只不过层次稍高一点。这里每一个问题都能讲一小时，我就不展开了。可以说，数学里几乎每一次新突破，都可以归结为有人问了一个蠢问题。

保罗·哈尔莫斯（Paul Halmos）以教学生像数学家一样思考而闻名，他特别强调：老师教给你的东西，不要当作静止的事实照单全收，你必须与之搏斗，真正把它变成自己的。方法之一，就是问你自己的蠢问题。

我举一个亲身经历。我的博士导师伊莱亚斯·斯坦（Elias Stein）是普林斯顿的杰出数学家。他证明过一个不等式，除了端点情形之外的所有情形都证出来了。某个时候我下定决心：我要证明斯坦不等式的端点情形。我自己试过，也和合作者一起试过，得到了一些非常弱的部分结果。补全导师做过的这个结果，是我的一个梦想。

后来我受邀参加他的八十岁生日纪念会议，我记得是八十岁，得报告点什么，就讲了我在这个问题上的部分结果。台下一位同行问了一句：「你试过证伪吗？有什么理由让人相信这个不等式是对的？有没有反例？」我从来没想过我要证的东西可能是假的。

我对这个问题给不出好的回答。当天晚上我就开始琢磨它会不会是假的，结果一周之内，我找到了反例。所以，问蠢问题的不一定得是你自己，但总得有人来问。

总结一下，做数学家有三个方面：既要学直觉也要学严格，最终把两者融合成一种后严格的思维方式；要拥抱失败的自由；还要问蠢问题。谢谢大家。

协作、分工与数学的工业革命

主持人（达拉斯）：陶教授讲的这些主题，正在数学教育领域引起回响。过去十年，数学教育界一直在努力：更细致地建立和论证想法，公开承认并支持课堂上解题过程中的挣扎、失败与坚持，重视过程，包括对比丰富问题的多种解法并从中学习。教育界正在非常努力地在学生身上培养职业数学家的思维习惯。

我先替自己问一个问题。数学教育界现在还有两个热门话题：一是学生之间的协作在理解数学中的作用，二是技术在课堂中的作用。你愿不愿意谈谈，协作与技术在数学家的职业工作中扮演什么角色？

陶哲轩：这两个话题都很好。我演讲里列的那三条，不应被视为数学家需要学习的全部。

有一项技能在数学中变得越来越重要，就是懂得如何协作的软技能。数学已经从一门非常孤独的活动演变成一门高度协作的活动。部分原因是学科本身的性质变了，我们处理的问题越来越跨学科、越来越复杂，没有任何一个人能独自解决；另一部分原因是互联网这样的新技术，让我们能以过去不可能的规模一起工作。

教学生做小组项目、学会合作，是一项重要的技能，而且是一种性质截然不同的技能。人际能力越来越重要，坦白说这传统上不是数学界的强项，但我们在进化。

而且我们的合作对象不只是人，越来越多地还包括人工智能。AI工具正在变得非常强大，在某些方面又仍然非常薄弱。协作的妙处在于分工。过去，一个数学家必须包揽解题过程的每个环节：找到问题，找到策略，找到一个好的策略，实施它，然后写出来、解释清楚。现在你可以和其他人、和AI一起协作，协作中的不同成员承担不同任务。我们正在慢慢经历某种工业革命，教学也必须随之演变。变化非常快，不管是好是坏。但我想，有像柯蒂斯中心这样的好资源，我们能适应。

主持人（达拉斯）：谢谢。线上有一个提问。

线上提问者：有几位发言人提到数学在现实世界中的应用。我觉得最好的一个应用是：UCLA的捐赠基金据说有五十亿美元左右，你们要是能拿到一部分，用数学系惊人的智力，也许再和金融系合作，我不知道你们愿不愿意，反正基金过去十年的平均回报率不到百分之八。用人工智能也好，数值模拟也好，随你们选，你们肯定能把这个平均回报率远远甩在后面。

陶哲轩：我在演讲里说过，数学里的失败非常廉价。这里得加个星号：一旦和现实世界挂钩，你确实得做认真的风险收益分析。我觉得教金融建模会是很好的学校项目，可以跑一些模拟市场，小规模地试试。但我还不会直接派学生去管理UCLA的捐赠基金。

现场提问者：那你愿意帮我管理投资组合吗？

陶哲轩：参见我上一条回答。

大语言模型的真实成功率

现场提问者：我有个严肃的问题。大语言模型现在做高等理论数学的水平如何？它们能不能推进这个领域的前沿？

陶哲轩：它们在很多方面的能力都在增强。眼下我觉得，它们的水平相当于一支水平参差不齐的研究生大军。你给它们一个问题，它们会去文献里翻出一些技巧，一个个试。有时成功，有时失败。有时表现得极其出色，有时一头栽在地上。

如果你只看社交媒体，看到人们谈论那些最大的成功，就会觉得惊人。可你把这些工具下载下来，在家里用在自己喜欢的问题上，成功率往往只有百分之一到百分之二。

我认为在某些类型的数学中它们会非常有用。如果一项任务可以拆成一百个子问题，而你不介意某个工具只能解决其中百分之十，那就是十个问题解决了；另一个工具再解决百分之五。所以就像我说的，数学必须工业化，开始玩百分比的游戏。我们通常的做法是抓住一个问题往死里做，但如果转而建立大规模项目，接受部分成功率，这些工具就会变得相当强大。不过局势变化很快，令人兴奋，也有点吓人。总的来说，我觉得利大于弊。

神童教育与犯错的特权

现场提问者：听开场介绍，以及罗珀教授谈到为人父母之后看到孩子在学校的经历，我马上想到：十岁就赢得数学竞赛，你是神童，是名人，是「最聪明的那个」。学校里谁最聪明，人人都知道，这并不好受。而今天，你作为成年人、作为父亲站在这里说：没有蠢问题。我至今还觉得自己问的问题很蠢，而且不敢当众问，现在就是在硬着头皮问。

我想问的是：站在今天，面对你所说的人工智能、大语言模型、数学的未来、教育的未来，以及这个系统里那么多不对劲的地方，你会对学校、老师和学区说什么？怎样把数学带进世界，让孩子们愿意努力、愿意问蠢问题？我无法想象这对你来说也许有多容易，同时又有多艰难。这个问题算公平吗？

陶哲轩：算的。那是一个不同的时代，世界慢得多，也可预测得多。我接受的是极度加速的教育，跳了五个年级。当地高中、小学和大学的校长们不得不专门为我设计一套特殊课程。当时这一切都很新鲜，没有那么多条条框框，也没有结构化的资优教育项目，所有人都在即兴发挥。靠着我父母和各位校方人员的共同努力，事情算是走通了。

现在的情况在很多方面既更好也更糟。在我的祖国澳大利亚，如今有了结构化得多的资优项目，不必事事从零即兴，但也许更僵硬了。有些我当年能做到的事，现在已经不可能了。这是个不同的世界。

我不知道什么管用、什么不管用，但我们这里有这样一个了不起的中心，正是致力于此。我们必须做实验，展示成功，也从失败中学习。我相信我们能比现在做得更好。数学家学到的一点是：部分解答也胜过完全没有解答。我想这正是这个中心的意义所在。

主持人（达拉斯）：谢谢。你刚才的话让我想起大约九个月前我对同事说过的一句：我们不要怕失败，要怕的是没有学到东西。

史蒂文森：我是加州州立大学北岭分校的凯特·史蒂文森，就在这条路往上走。我在北岭教那门「令人生畏的证明课」，而且是有意为之，因为作为系主任，这让我能直接接触到我的本科生。学生在这门课上经历的转变非常美妙，我喜欢看着它发生。

陶哲轩：这是一种说法。

史蒂文森：要是能把你说「失败没关系」录下来放给他们看，我的工作会轻松太多。但我想说，你描述的做数学家的三个方面，这个框架里也许缺了一块，那就是当你面对的学生不是数学夏令营出来的，高中就没学好数学的时候该怎么办。我的学生大多数是家里第一代大学生，很多人的过去和现在都非常艰难。

要和这些学生建立信任，让他们愿意犯错，因为能够犯错并且犯得安心，本身就是一种特权。我认为，建立这种信任的一条协作之路，就是我们用同一个声音说话：数学就是犯错和坚持，数学是一张相互联结的思想之网，而不是一堆算法。令人高兴的是，最近加州州立大学系统、加州大学系统和社区学院联合发布了一份声明，阐述了什么叫为高等教育做好准备，其中反映了你今天讲的所有观点。所以我想把这些声音提高一点：这一点我们没有争议，我们是一致的。

AI能否创造定义，阶段是否必然

主持人（达拉斯）：谢谢凯特。线上还有一个问题，来自菲尔·柯蒂斯的学生克里斯·恩尼斯，他已经离开了会议室，但我想确保他的问题被问到。他问：你见过人工智能为了证明一个结果或解决一个问题而创造出新的数学定义吗？提出好的定义是数学家最具创造性的活动之一，比如拓扑学中紧致性（compactness）的定义，让许多基本定理的证明容易了很多。AI能做到这一点吗？

陶哲轩：既能又不能。你可以让AI生成各种新想法和新定义，但它也许生成一个好定义，附带九个坏的，而你不亲自逐一检查，根本分不清哪个好哪个坏。

数学有些部分是很容易核对的，问题要么解决了，要么没有。在这些可验证的部分，AI目前确实相当有用。可对定义这样的东西，你没法给它打个十分制的分数。所以这类任务上，AI仍然非常令人沮丧。它偶尔会挖到金子，但随即就翻篇了，接下来说的九样东西都是垃圾。所以我还没见过。也许技术会进步，但我的回答基本上是：还没有。

现场提问者：你提到教育的三个阶段：前严格、严格、后严格。我的问题是，本该如此吗？如果不是，对那些没有接触过后面阶段的人，有没有办法让他们不必经历完整的正规教育，就能尝一尝后严格阶段的滋味，或者对它有所了解？

陶哲轩：这是个好问题。如果你把它赶得太快，我见过这样的人：对数学极其热情，总有很棒的想法，却完全没有严格性。他们在学会证明之前就想直接跳到后严格阶段。这会有点尴尬，因为他们说的很多东西其实说不通，而他们自己都不明白为什么说不通。

我认为，让处于教育过程不同阶段的人多交流很重要。至少让人知道，你现在经历的并不是数学的最终形态。即使你还没准备好欣赏它的全貌，也可以先尝一口。

还是那句话，我们展示自己的过程太少了。有些活动，人们就爱看别人做：电脑游戏，有一整套看别人打游戏的文化；看运动员训练，看演员的花絮。数学里没有这样的文化，我们觉得自己做的事要么太私密，要么太无聊。但如果我们多分享一些自己做的事，也许会有帮助。

主持人（达拉斯）：也许这就是你最近发的那个YouTube视频有十万次观看的原因。陶教授分享给我一个视频，他在里面实时使用AI做研究，观看量相当可观。这也许就是掀开盖子、让人实时看到引擎盖下面的东西。

陶哲轩：对，这种事我们做得远远不够。

现场提问者：你说失败很重要，我们从错误中学习。这让我想起詹姆斯·斯蒂格勒（James Stigler）在第三次国际数学与科学研究（TIMSS）中做的一项研究。他到日本、德国和美国的八年级课堂录像。我们注意到的一件事是，在美国课堂上，一个孩子把解题过程写在黑板上，要是出了错，那可不是件好事；而在日本，一个孩子在黑板上出了错，老师会大张旗鼓地表示全班多么感谢他，因为大家可以从这个错误中学习。对待错误的教学态度完全不同，这正是我从你今天的演讲里听到的东西。

卡在同一扇门前：做数学的感觉

现场提问者：我要问一个很「南加州」的问题：做数学是什么感觉？顺利的时候是什么感觉？不顺的时候，我们现在不说「错」了，对吧，该说「有成效地失败」的时候，又是什么感觉？

陶哲轩：我小时候电脑游戏玩得太多了，那是我最喜欢的爱好之一。九十年代互联网还不普及，一款游戏你过不去，找不到开门的钥匙，网上是没有攻略的。也许本地游戏店会卖一本攻略书，但基本上，你每天晚上打开游戏，都卡在同一扇该死的门前，一遍又一遍。

然后某一天，你灵光一闪，把那块石头搬开，钥匙就在下面。你终于过去了。那真的非常满足，而且感觉是挣来的。你在一个问题上下功夫，反复探索，看上去没有进展，其实你是在清除那些行不通的死路，把问题的负空间一点点抹掉，直到只剩下一条路。到那时，你才准备好找到出口。

而且往往一旦找到，你会想：「我怎么之前没看见？」你之前没看见，是因为你还没有花功夫把所有无关的杂物清理干净。

我不想做那种「现在的孩子啊」的感叹。技术在很多方面改善了我们的生活，让我们能即时获取各种东西，但同样地，我们也开始指望几乎任何事都有即时答案。而数学是所剩无几的、拿不到即时答案的地方之一。好吧，现在也有付费的办法了。但当你不借助AI工作的时候，你得不到即时答案，必须下功夫。可当你真的找到解答时，它确实感觉是挣来的，那种感觉很好。

现场提问者：你那个花了两年的问题，本来几周之后就要发表，结果发现错了。如果今天把AI用在那个问题上，要多久？

陶哲轩：我没试过，有点不敢试。不管好坏，这些AI的训练方式是把互联网上能抓到的一切都吸进去。我们十年前发表的那篇论文就在训练数据里。所以你拿这个问题去问AI，它可能有意无意地，我这里打个引号，把已经在互联网某处出现过的东西复现出来，这方面它们非常擅长，而我们无法确定它到底是怎么做到的。我相信它们会做得不错，但究竟是背下来的，还是自己原创的，没人真正知道。

现场提问者：如果问题出在原来的证明里呢？

陶哲轩：它们确实解决过一些以前没有解决的问题。但你去看它是怎么做的，往往是把某个相关问题上奏效的方法重新混合了一下。我还没见过真正让我震惊的东西，那种「从没有人见过这样的证明」的东西。但它们非常非常有用。至于是否真的有创造力，仍在争论之中。

主持人（达拉斯）：非常感谢陶教授回答了这么多问题，感谢你的时间。