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知识之问「我们如何知道?」之 Ⅱ·13 · #025 凡是真的,都能被证明吗? 未结案

它不是问我们眼下找没找到证明,而是问「真」与「可证明」是不是同一件事。证明总要在某个系统内、从某组前提出发进行,而「真」可以指向系统之外。它常被误读成怀疑主义的抱怨,或被反过来误读成「拿不出证明的就不算真」,后者已经把答案偷偷塞进了问题。

因为答案决定我们如何对待那些暂时讲不出理由的信念。若真等于可证,一切无法出示论证的东西都该悬置;若真大于可证,就得承认有些真理只能被看见、被信任,不能被推导。数学在这里给出了硬结论,而伦理判断、他人的痛苦、自己的动机,每天都在逼人重新作答。

AI 时代重问

当 AI 能核验百万行形式化证明、却依然逼出为真而不可证的命题时,我们还该不该把「拿得出证明」当作「是真的」的标准?

思想史的回应 亚里士多德 → 莱布尼茨 → 希尔伯特 → 哥德尔 → 当代 · 经典立场速览
亚里士多德 《后分析篇》指出,证明若要求前提也被证明,只能落入无穷倒退或循环。所以科学必须停在不可证明的第一原理上,这些原理由努斯直观把握。矛盾律就是例子:它无法被证明,只能让否认它的人在开口说话时自己承认它。
莱布尼茨 他主张一切真命题的谓词都包含在主词之中,因而原则上都可分析还原为同一律。但必然真理的分析有穷步可完成,事实真理的分析却无限延展下去。所以「凡真皆可证」对上帝成立,对有限心灵不成立。
希尔伯特 他要把数学彻底形式化为无意义符号的操作,再用有穷的、人人可检查的方法证明该系统一致且完备。这样真理就等于按规则可推导。他反对不可知的界限,断言数学中没有不可解问题,我们必须知道,我们必将知道。
哥德尔 他用编码让算术谈论自身,造出一句「本句在本系统内不可证」。若系统一致,此句不可证,因而恰恰为真。第二定理更证明系统无法证明自身一致。真与可证明由此在任何足够强的系统里被撬开,永远合不拢。
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