MIT Godel Escher Bach Lecture 1

编者按：本文整理自麻省理工学院独立活动期学生自授课《哥德尔、埃舍尔、巴赫：一条永恒的金带》的第一讲。主讲人贾斯汀·柯里（Justin Curry）是 MIT 数学系高年级本科生，曾于 2006 年春季首次开设这门课，2008 年再度开讲；课上被反复讨论的对象是认知科学家侯世达（Douglas Hofstadter），他 1979 年出版的这本书拿下了普利策奖。这一讲用一小时铺开全书骨架：自我如何从无自我之物中生出，五种思维工具，MU 谜题，pq 系统，以及现实本身是否也是一套形式系统。本文依据现场录音编译整理，仅删去口语枝节、寒暄与重复，论证与例子悉数保留。

开场与课程缘起

柯里： 欢迎来到《哥德尔、埃舍尔、巴赫：一条永恒的金带》。我叫贾斯汀·柯里，是 MIT 数学系的大四学生。过去一年我在英国剑桥大学，再往前一个夏天住在德国，所以这次回来算是一场反向的文化冲击。但我很高兴能再讲一次《哥德尔、埃舍尔、巴赫》。

柯里： 我在 2006 年春季开过这门课，当时是十周，我们企图完成一件不可能的事：一口气把这块厚砖头从头啃到尾。这行不通。大多数本科生十三周也读不完它。我自己是花了大约七年才读完的。所以你们这次要挑战的不是通读全书，而是把《哥德尔、埃舍尔、巴赫》的精髓提炼出来。

柯里： 我想先请每个人做个自我介绍，说说名字，这既方便我点名，也是因为我很好奇：你们在课程目录里看到什么，让你最感兴趣，为什么今天会坐在这里。

学生： 这门课到底讲什么？

柯里： 好，这正是我接下来要交代的。今天早上我跟你们中不少人聊过，主要是想确认大家对数学不发怵。这门课并不直接是一门数学课，虽然课上会谈到大量数学。

自我从何而来

柯里： 这本书背后的想法是这样的：侯世达关心的其实只有一个根本问题，就是自我如何从没有自我的东西里长出来。构成我们的这些碳原子、分子、蛋白质，它们本来在物理宇宙里毫无意义，怎么就一路发展成了一个能够指涉自身的实体？

柯里： 比如此刻我在说「我认为这样」「我觉得你们喜欢那样」，我把你们每个人当作一个个体来认识，而你们每个人都声称自己有一个自我。你们大概记得笛卡尔那句名言：我思故我在。所以当我说「我」的时候，那个「我」，我们称之为自己的东西，似乎是一个真实存在的东西。

柯里： 但这是个复杂的问题：我们如何从「非我」得到「我」？这就是整门课的方向。我在黑板上写一个「我」。你怎么得到一个「我」？你是靠一堆毫无意义的基本元素得到的：原子、蛋白质、分子等等。这些就是你的构成材料，可它们本身什么都不意味着，它们没有「我」，没有自我，可你有。那么两者之间的关系究竟是什么？

柯里： 侯世达是七十年代读物理研究生的时候写的这本书，在那之前他在斯坦福读的是数学本科。他相信，自己在摆弄数学、摆弄那些极其形式化的系统时，看见了答案的影子。比如我们写下 2 + 2 = 4，这不过是一串符号；今天我还会给你们看几种完全等价的加法写法，看上去会是另一副模样。再比如那些逻辑上的基本记号，「存在一个 x」「对所有的」，如果你没学过集合论也别怕这些符号。我们会给这些符号赋予解释，但要点在于：数学可以被归结为一堆毫无意义的操作，纯粹是符号的搬运。

柯里： 有意思的地方在于，数学内部存在一个与自指等价的东西。一堆原子和蛋白质指涉自身、管自己叫「我」，这是一回事；而在「哥德尔」这个名字底下发生的，是另一回事：我们会遇到不完备性定理，会遇到数学中那些指涉自身的陈述。这件事是怎么发生的，我们理解得相当严格。数学家已经弄清楚了，我们如何从无意义的符号出发，得到一个指涉自身、并且带有意义的东西。

柯里： 那么这本书的主张就是：这两个系统是等价的。这才是真正深刻的想法。我在这里画一个符号，我要用一个词，叫同构（isomorphism）。同构基本上就是另一种意义上的「等号」。想法是：在很多方面，我们可以把原子和蛋白质，跟数学里那些逻辑符号的基本元素对应起来；而我们已经理解了数学里自指是怎么产生的，那么也许我们可以借此理解「我」是怎么产生的，自我如何从非自我中长出来。

柯里： 这是个极高的要求，但我们要试一试，这本书本身就是在试这件事。我做的工作是从书里挑出我认为跟这条思路最相关的章节。我们的路线是：先学清楚这件事在数学里怎么运作，从逻辑上的基本元素一路走到自指，然后再跳到那一边，去谈禅宗、谈意识。我们会往上走，往下走，再绕回来。课程的结尾会落在人工智能的一些有趣问题上：有智能的东西如何从没有智能的东西中产生。

五种思维工具

柯里： 两年前，也就是两个春天以前教这门课时，我总结出了五样我认为极其重要的思维工具，后来浓缩成了我那场著名的「思维工具」讲座。《哥德尔、埃舍尔、巴赫》里有数量惊人的概念工具，可以用来对付「如何从非自我走到自我」这个复杂问题。我先把它们列出来：

柯里： 第一，同构。第二，递归（recursion），这一条我主要留给凯伦在第二讲去讲。第三，悖论（paradox）。第四，无穷（infinity），这几个概念彼此之间联系极紧。最后一个，也是今天这一讲的重头戏，是形式系统（formal system）。

同构与同态之别

柯里： 先说定义。关于同构，我希望大家格外小心，因为当你去跟真正的数学家，那些成年的、职业的数学家交谈时，他们用「同构」这个词是有非常非常具体的所指的。而在《哥德尔、埃舍尔、巴赫》里，也就是在这门课里，这个词用得非常松。我们会说一些很直觉的话，比如：滑板和汽车之间的同构是什么？我画得不好看，将就一下。你可能会说出一堆东西：它能载人，它有四个轮子。我们做的事情，是构造一个映射，而且这个映射有逆。这就是你该有的同构图景：两边可以来回走，信息得以保存，结构得以保存。

柯里： 如果你想跟着原文读，讲义第七页中间我抄了侯世达的一段话。他说：「当两个复杂结构能够彼此映射，使得其中一个结构的每一部分在另一个结构里都有对应的部分时，同构这个词就适用；这里所说的对应，指的是这两部分在各自的结构中扮演相似的角色。」这门课里的「同构」永远是这个意思。如果你在上抽象代数，那里的含义要具体得多，细节也多得多。

柯里： 你其实也可以把我说的这种关系看成同态（homomorphism），不过不必纠结。同态的想法是，一边的细节比另一边多得多。比如滑板上没有方向盘，汽车上有。如果你要从汽车映射到滑板，那个细节就得被安置到别的地方去。这些讲究你们先不用管。我说「同构」的时候，你就想成「等于」，我也常常直接用那个符号。

柯里： 这一条会非常重要，因为我们正是靠它从事物中得到意义的。这个词在往后的阅读里会一再出现。

递归与斐波那契

柯里： 接下来说递归。递归到处都是。粗略地说，它是一串你要照着执行的指令，执行完再重复，直到抵达某个终结的情形。假如你在做饭，你有一套搅蛋的递归算法：搅一圈，再搅一圈，一直搅到看起来都拌匀为止。这是非常松散的理解方式。

柯里： 另一个你们大概都熟悉、在数学上严格得多的例子是斐波那契数列。你从两个数开始，一和一，然后把前两个数相加得到下一个数：一、一、二、三、五、八，如此下去。你可以写出所谓的递归定义：第 n 个斐波那契数等于第 n-1 个加上第 n-2 个，这里 n 大于等于二。你是用这个东西自身来定义它自身的。这是递归的经典例子：它本质上就是缩小了一级的它自己。

分形与分数维

柯里： 我认为递归最激动人心的应用是分形，因为分形正是通过递归造出来的。不知道你们见没见过谢尔宾斯基三角形，又叫谢尔宾斯基垫片，这是分形里的经典。你把一个三角形分成三个，然后对每一个剩下的三角形无限次地重复这个过程，就得到了这些非常漂亮的镶嵌图案。数学的好处就在于我们可以精确，可以做现实世界里做不到的事，比如无限次地重复下去。

柯里： 岔开一句，我不想在这上面花太多时间，因为凯伦会讲得更多。为什么它叫分形（fractal）？有人知道吗？

学生： 好像是「碎片」的意思？

柯里： 有道理。这个词是曼德博（Benoit Mandelbrot）在 1977 年造出来的，我记得是那一年。它其实指的是维数。这个概念对大多数人来说可能相当烧脑：我们习惯认为自己生活在一维、二维、三维或者四维里，全是整数，对吧？但我的主张是，谢尔宾斯基垫片实际住在一维和二维之间。

柯里： 我来帮你们建立这个直觉。翻到第九页，那里有一份「怎么想维数」的配方。说来也怪，大概只有数学家才会操心「维数」这个概念的严格含义。这里有一种想法：

柯里： 取一条线段，把它加倍，你得到的是原来线段的两个副本，这里一个，那里一个。取一个正方形，把边长加倍，你得到原正方形的四个副本。同理，立方体我就不画了，画起来会立刻乱成一团，把每条边加倍，你想一想，会得到原立方体的八个副本。

柯里： 如果你够敏锐，会注意到这里有一个幂在起作用。线段加倍后是两个副本，也就是二的一次方；正方形加倍后是四个，二的二次方；立方体加倍后是八个，二的三次方。奇妙的地方在于：立方体住在三维，正方形住在二维，线段住在一维。

柯里： 于是这提示我们一个关系：二的 D 次方等于加倍之后你得到的副本数，其中 D 就是你所处空间的维数。现在回到我们的朋友谢尔宾斯基垫片。从它出发，设想把每条边加倍，这里，还有这里，我们就被引向一个非常古怪的结论：不管谢尔宾斯基垫片住在几维，它得服从这条规则，也就是二的 D 次方等于三。两边取对数，解出 D，你会看到谢尔宾斯基垫片的维数是 log 3 除以 log 2，约等于 1.585，后面还有无穷多位。这就是一个确确实实住在一维和二维之间的东西。我觉得这个概念酷极了。

三类悖论

柯里： 接着讲下一样思维工具：悖论。悖论有各种各样的口味。不知道你们听没听过生日悖论：房间里另有一个人跟你同一天生日的概率是多少？所有人都觉得这概率极小，可你真去算一算，机会其实相当大。如果房间里有四十多个人，你找到跟自己同一天生日的人的概率高得吓人。

柯里： 我这里列了三类悖论，要感谢维基百科和奎因先生（W. V. Quine）。第一类是真实性悖论（veridical），这些结论是真的，只是初看起来像悖论。第二类是谬误性悖论（falsidical）。第三类，也就是我们真正关心的那种，是真正的悖论，叫做二律背反（antinomy）。我给每一类举个例子。

柯里： 先说另一个经典悖论，也是《哥德尔、埃舍尔、巴赫》很早就造访过的：芝诺悖论。想法是这样的，如果我要从这里走到我的笔记本电脑那儿，我得先走完全程的一半；要走完剩下的一半，我得先走那一半的一半；再要走完剩下的，还得走它的一半，再一半，再一半。最后我就卡在一个无穷循环里，好像永远到不了笔记本电脑那儿。

柯里： 这个悖论还有一个变体：如果我根本想动一动，我的原子想在空间里挪一点位置，它得先走一半；可在走那一半之前，它得先走一半的一半，再一半的一半的一半。所以当年在希腊，芝诺用这个论证证明运动是不可能的，我们在宇宙里看到的一切运动都是幻觉。

柯里： 很长一段时间里，没有人能真正回应芝诺。直到微积分中极限概念的建立，我们才算明白了它为什么不构成悖论：所谓「无穷多步」严格来讲是什么意思，我们究竟怎么才能真的走到房间另一头。它看起来像悖论，可我们知道它必须为真，我们知道运动必须是可能的。

柯里： 谬误性悖论你们小时候，甚至现在，大概都见过不少。有人写下一串 1 - 1 + 1 - 1 + ⋯，然后说服你：你看，按这样两两分组，每组都是零，把一堆零加起来还是零。可这是个无限长的串，对吧？我们可以换一种方式重复这个模式，比如先留出一个 1，于是我们突然得到一些古怪的结论，比如 0 = 1。这类东西通常都建立在对无穷做了某种非法操作之上。而无穷会是我们反复遇到的一个极重要的概念。

说谎者与理发师

柯里： 最后是二律背反。这才是值得琢磨的那种悖论。我有一回跟一群数学家出去吃饭，我也不知道自己怎么就混进去了，但我可以告诉你那场面挺吓人的。席间有位韩国数学家说：其实这些问题大多都不重要，我们连一些最根本的东西都还不懂。而他最感兴趣的，也是我认为最困扰数学家的，就是说谎者悖论和罗素悖论这两个二律背反。

柯里： 说谎者悖论你们大概听过，它其实源自一处圣经典故，核心那句话是：这句话不是真的。那么它到底是真还是不真？如果它是真的，它说的却是自己不真，于是「真」推出「不真」，矛盾。如果它不真呢？我们相信排中律，事物要么真要么不真，那么它的否定就是真的，所以「不真」推出「真」。我们被卡死了。

柯里： 说谎者悖论今天仍然纠缠着我们。跟芝诺悖论不同，它没有被解决，我们至今不知道该拿它怎么办。而当我们讲到哥德尔定理时，他的证明方式跟这一条有极深的血缘关系。区别在于，那个句子说的不再是「我不真」，而是「我不可证」。这是个非常有意思的想法，我们稍后会展开。

柯里： 另一个我想看的二律背反是罗素悖论，也叫理发师悖论，我打算按理发师的版本来讲，我觉得那样亲切一些。

柯里： 有一个镇子，镇上有个男理发师，他遵守这样一条规矩：他给所有不给自己刮胡子的人刮胡子，而且只给这些人刮。那么当他的胡子长得跟我一样密的时候，他该怎么办？他给不给自己刮？我们看看。按定义，理发师只给那些不自己刮的人刮。所以如果他给自己刮，那他就不该给自己刮；而如果他不给自己刮，那么按定义，他就必须给自己刮。

柯里： 这个悖论的一个变体由剑桥的数学家兼哲学家伯特兰·罗素和德国大逻辑学家策梅洛（Zermelo）各自提出：考虑这样一个集合，叫它 Ω，它包含所有「不以自身为成员」的集合。

柯里： 记住，集合不过是一堆对象的汇集。而数学家当年真心相信，集合论将为数学提供最终的、可靠的逻辑基础。我先举一个「包含自身」的集合的例子：考虑所有「不是圣女贞德」的东西构成的集合。集合不是人，人才是人，集合不可能是一个人。所以这个「所有不是圣女贞德之物」的集合，把它自己也包含在内了，它是自身的成员。

柯里： 现在我们把所有「不以自身为成员」的集合装进 Ω 里，然后问：Ω 是不是自身的元素？如果 Ω 包含自身，可 Ω 按定义只包含那些不包含自身的东西，所以它不能包含自身。而如果它不包含自身，那么它就是一个不包含自身的集合，按定义就应该被装进 Ω 里，也就是它应该包含自身。矛盾。

柯里： 这件事让一大批数学家困扰了很久。它跟理发师悖论是同一个东西的精确变体，很值得你自己去把玩。

无穷有很多种

柯里： 最后一样是无穷的概念。今天我讲不了太多，以后会细看，但我想先让你们知道：无穷有不止一种。你有整数，你也有实数。而事实是，你无法在它们之间建立一一对应。你没法把每一个实数，比如 0.3333⋯，或者随便一个 0.35 什么的，或者干脆就取圆周率 π，跟一个自然数、一个整数直接配对起来。

柯里： 这就是著名的康托尔对角线论证。所以，无穷是有不同程度的，实数是更高一级的无穷。这一点很值得记住。

MU 谜题

柯里： 现在我们跳到最后一样思维工具，它同时也是我们跳过《哥德尔、埃舍尔、巴赫》前三章的理由：形式系统。问题在于，这些形式系统很无聊，而侯世达在引入形式系统这个概念时慢条斯理，不慌不忙。我打算加快速度，因为我知道你们比那聪明，可以很快地通过这些概念。

柯里： 我们来玩一个游戏，叫 MU 谜题，M 和 U。玩法是这样的：你有一个装着三个字母的袋子，你从里面抽出两个字母，得到 MI。然后你有四条规则，全都是严格的排版规则，用来推出你可以从袋子里取出的新东西。

柯里： 第一条规则：如果你手上有一个以 I 结尾的串，比如 MI，或者任何东西后面跟一个 I，你可以在后面加一个 U。所以我们马上知道可以造出 MIU。

柯里： 第二条规则：假如你有 M 后面跟着一串由 I 和 U 组成的字母，因为我们的字母袋里就这些，那么你可以免费得到 Mxx，也就是把 M 后面那一串重复两遍。举个例子，我们手上有 MI，那么就免费得到 MII。

柯里： 第三条规则：假如你在某个时刻得到了连着的三个 I，它们不必在末尾，可以在任何位置，只要三个 I 挨在一起，你就可以把这三个 I 换成一个 U。

柯里： 第四条规则：如果出现了两个连着的 U，你可以把它们去掉，它们就消失了。所以如果你有 MUU，你可以直接得到 M。

学生： 第四条只对两个 U 有效吗？

柯里： 对，第四条只针对两个 U。你有两个 U，就可以把它们拿掉，减掉。

柯里： 现在你有了规则，有了字母，你从一个串出发，它就是我们的公理。公理是推理的起点，是你开始施加规则的地方。游戏的问题是：你能得到 MU 吗？从 MI 出发，只用这四条规则，你能不能得到 MU？谁能在这间教室里推出 MU，我给他二十美元。只许用这四条规则，只许从 MI 出发。

柯里： 给你们一点方向感。照规则来，我们已经看到从 MI 可以得到 MIU，这是用第一条；用第二条可以得到 MII；有了 MIU，把 M 后面那串重复一遍，可以得到 MIUIU，这是再用一次第二条。如此等等。这个谜题留给你们，慢慢来，你大概会做上好几个小时。第一个当场推出 MU 的人拿二十美元。

柯里： 另外我还是要劝所有人去买这本书。这些规则在书里那一章有明确的列表，你也许能从中得到一点如何推出目标的启发。

形式系统的词汇

柯里： 那么这有什么意思？我们不就是在摆弄字母和字符串吗？虽然这看上去挺没意义、甚至挺蠢的，但有没有人在看这个游戏和这些规则的时候，觉得自己其实是在玩中学或者高中学过的代数？我们真正在做的事情，跟 2 + 2 = 4 是一回事。我们都学过一条排版规则：碰到一个等号，可以在两边同时加一，等式仍然成立，于是我们得到 2 + 3 = 5。

柯里： 所以数学其实可以归结为：摆弄这种形式的系统，施加这些严格的排版规则。区别只在于，MU 这边看不出任何意义，它就是没有意义。而这门课要处理的一个重要问题正是：事物如何获得意义？我们怎么从无意义走到有意义？加法这边显然是有意义的，但我要你们问自己：为什么？

柯里： 往下走之前，我有责任先做一件无聊的事，就是写下几个术语的定义。我们已经见过公理了。任何这样的字母序列叫做串（string），也就是一个有序的字母序列，这里是 M、I、U 的序列。

柯里： 公理是起点，是你能开始施加规则的第一个东西。这跟数理逻辑关系极大，因为在数理逻辑里，我们从一些看上去显而易见的极原始的东西出发，比如「零的后继是一」，然后从这个概念一路推出数论和数学的全部真理。在这里，你的公理是 MI，你想证明的定理就是 MU。

柯里： 定理（theorem）基本上就是一次推导末尾得到的那个串。而推导（derivation）就是证明。学过几何的人都知道，你会说「这个三角形跟那个三角形全等，因为边角边」，你是在为自己的逻辑跳跃给出严格的辩护。在这里，我们说 MIU 是定理的严格理由是：我们施加了第一条排版规则。这是一次严格的逻辑跳跃，于是我们得到了这条定理。

柯里： 而这四条规则，可以称为推理规则（rules of inference）。在逻辑里，甚至在你们考 SAT 时玩的那些东西里，都有这类规则。比如你有命题 P 蕴涵命题 Q：如果天阴，那么就会下雨。这跟「非 Q 蕴涵非 P」是等价的。这些规则之所以好用，就因为它们纯粹是排版规则：看见「M 后面跟着任意一串字母」，我就可以把那串加倍，这是一条推理规则；看见「P 蕴涵 Q」，我总可以把它替换成「非 Q 蕴涵非 P」，两者完全等价，这也是一条推理规则。

跳出系统

柯里： 有些人为了那二十美元已经在纸上疯狂演算了，我请你们先停一停，还是把注意力放回我们现在说的事情上。我们要谈谈「跳出系统」。这是侯世达在书里塞满的那种带点叛逆气质的好东西。

柯里： 想法是这样的：你现在只是在玩一个游戏。而数学家，或者说任何一个人，当他感到自己陷在循环里，一页一页地演算代数却毫无进展时，人是聪明到会停下来的。他会退出这个系统，说：我不知道，我觉得这么下去不会有结果；或者说，让我想想为什么我推不出来，我要怎样才可能得到 MU，也许这跟 I 和 U 的个数有关，我不确定。

柯里： 这时候你开始做我喜欢称之为元思考（meta thinking）的事情。你不再是在系统之内思考，不再是对已有的串和公理施加排版规则、施加推理规则去得到定理。那叫在系统内思考，那只是「思考」。元思考则要求你跃到系统之外，对这个系统本身做出判断，产生那些无法被表达为系统内任何一条普通排版规则的想法。这就是元思考。

系统的社会隐喻

柯里： 这一节里我最喜欢的一段，请翻到讲义第二十四页，抱歉，在我的教学大纲里，我找一下。侯世达把这件事当成一堂人生课来讲。他说：「当然，在有些情形下，只有极少数人具备那样的眼光，能够看出一个支配着许多人生活的系统，一个此前从未被认作系统的系统。这样的人往往会用毕生的精力去说服其他人相信这个系统确实存在，而且应该被跳出去。」

柯里： 也就是说，如果我们的社会习俗和文化其实只是形式游戏，我们说你好，我们握手，这就是我们都在遵守的一条形式规则的实例。但每隔一段时间，总会有人说：我不想跟你握手，我要退出握手这个形式系统。

柯里： 当然也有远为激进的例子，比如马克思和共产主义。他的想法是：你看，有那么一群人在攫取金钱和财产，让别人替他们干所有的活，压迫着整整一个阶级，人们难道认不出这是一个系统吗？于是马克思和恩格斯开始写小册子，鼓动人们推翻政府，等等。因为他们看见了一个系统，然后说：我们必须跳出这套思维系统，我们是有智能的存在，我们能在更高的层次上思考。当然，我不是在这儿推销共产主义，只是举一个历史上的例子。

柯里： 类似的还有无政府主义、今天的社会主义、劳工运动，还有媒体。如今我觉得最流行的说法之一就是：这不过是媒体在搞鬼。从前我们不会把它当成一个实体来称呼为「媒体」，现在人人都说，媒体在模糊我们的认识，媒体在制造恐慌。还有政府，政府要负责。马克思那句经典的话也是这样：教会是人民的鸦片。

柯里： 还有学校。学校是我最喜欢的例子，一直有人鼓励你跳出这个系统：这不过是我们办的一个托儿所罢了，我们其实并不真想让孩子学习和成长。这催生了很多自由思想的教育运动，比如蒙台梭利之类。我真心希望你们想一想，在自己每天的行动里，我是不是也活在某个以类似方式运作的形式系统之中？做一点元思考，在更高的层次上想一想。跳出那个系统值不值得？

柯里： 侯世达把思维分成三个层次：机械模式，也就是你在系统内玩那些常规游戏的时候；智能模式；以及「无」模式（un-mode），就是你干脆拒绝这个系统。他称之为禅的处理方式。这个我们以后还会多谈一些。

人的思维是计算吗

柯里： 我先插一句之前提过的事：我们最终是要谈人工智能的。奇怪的地方在于，人类特别爱说自己的思维是逻辑的，我们爱说自己就是这么想问题的，可很多时候我们并不是。我们更多是靠对一堆事件的归纳来做推断。归纳就是我们最爱用的思维工具之一：过去这些天太阳都升起来了，那明天当然也会升起来。可并没有一条真正的形式逻辑说「昨天太阳升起，所以明天太阳会升起」。

柯里： 我希望你们想一想：我们的思维，是否其实只是某个形式系统里的运算，就像 MIU，就像「P 蕴涵 Q」？

pq 系统与意义

柯里： 这就把我带到另一个形式系统，我必须提它，因为第四章会用到它。它会引出一条很有意思的线索：一个由无意义符号组成的形式系统，是在什么时候获得意义的。它叫 pq 系统。

柯里： 我们有三个新符号，不是字母是符号：p、q 和横杠。这个系统里公理有无穷多个，由一条定义给出：只要 x 是一串横杠，「x p 横杠 q x 横杠」就是一条公理。我在 p 底下画条线以示强调。

柯里： 这在说什么？比如这一条，这里的 x 是两个横杠，我们就知道它是公理。这跟 MIU 有点不同，但看上去同样毫无意义。

柯里： 然后我们有操作它的规则。规则是：如果 x、y、z 都是横杠串，你手上有「x p y q z」，那么你就免费得到「x p y 横杠 q z 横杠」。

柯里： 看上去毫无意义。但它让你想起什么？我们有了这条公理，而且事实上有一整张无穷长的公理表。也许你已经注意到了：这里有两个横杠，这里有一个横杠，这里有三个横杠。这在干什么？

学生： 是加法。

柯里： 完全正确。它在说的是：好，我们来施加这条规则。我们可以从这里免费得到「横杠横杠 p 横杠横杠 q」后面接横杠。原来 q 后面是三个横杠，规则说我们可以再添一个。这在说什么？这似乎在说 2 + 2 = 4。

柯里： 所以我要你们意识到：数学家一直在用的、你们从小学到大的那套符号体系，不过是速记，是没有意义的记号。

学生： 那两个反过来呢，一和二可以是二和一吗？

柯里： 我这里想说的是，我们似乎在读出这样一条规则：横杠串一加上横杠串二总是等于横杠串三。这里的「一」指的是一整串横杠，「二」指的是 y 那一串横杠。或者更好的写法是：x + y = z。

柯里： 那么这个系统跟 MIU 有什么不同？有人有想法吗？为什么你们突然对这个系统比对 MIU 更上心了？当然，除了推出 MU 有二十美元这一点之外。

柯里： 关键就在我刚给你们看的这个对应上。现在你不必再去施加那些排版规则了，我告诉你这个串同时也可以读作 2 + 2 = 4。于是你会说：啊哈，我现在能干各种事情了，我发现了 pq 横杠系统的意义，我可以从任何一条公理出发造出各种各样的新定理。你甚至会忍不住说：这还用问吗，我知道 2 + 2 + 2 = 6，我已经发现了 p、q 跟加号、等号之间的同构，所以我敢写下「横杠横杠 p 横杠横杠 p 横杠横杠 q 横杠横杠横杠横杠横杠横杠」。这么多横杠。这里有什么问题？谁看出来了？

学生： 它不符合规则。

柯里： 完全正确。按照我给你的规则和你出发的公理，你永远只能有一个 p 和一个 q。这个串甚至连我们所说的合式公式（well-formed formula）都不是。

柯里： 所以你必须非常小心「意义」到底意味着什么，也要小心你在自己关于加法的知识和你所玩的形式系统之间建立同构时的分寸。试着想一个别的解释：我们完全可以把这些 p、q 和横杠解释成别的东西，比如把 p 叫做「马」，把 q 叫做「苹果」，一个横杠叫「高兴」，两个横杠叫「高兴高兴」，如此类推。于是我们突然有了另一套解释：那个串不再是 2 + 2 = 4，而是「高兴高兴马高兴高兴苹果高兴高兴高兴高兴」。

柯里： 这什么也不意味着。但它是一个解释，而且没有任何理由不这么解释。也许对马来说，这个解释比加法还要合乎情理。首先，我们做加法时用的是十进制，因为我们有十根手指。可马没有十根手指，十进制写下的数字对马来说毫无意义，也许「高兴马苹果」对一匹马来说要说得通得多。

柯里： 我这里得赶一点，但我希望你们一直带着这个问题：意义从哪里来？我们究竟怎么把意义赋予无意义的符号？这就是我们的目标。我们要从数学中无意义的符号出发走到意义，然后试着在宇宙和我们的形式系统之间建立一个漂亮的同构。

现实是形式系统吗

柯里： 这就顺理成章地把我带到下一个问题：现实本身是不是一个形式系统？请翻到讲义第二十九页，那里有一段很长的引文，一直延伸到第三十页。我从底下开始念。

柯里： 「全部现实能否被转化成一个形式系统？在非常宽泛的意义上，答案似乎可以是肯定的。比如可以设想，现实本身不过是一个极其复杂的形式系统。它的符号不是在纸上移动，而是在三维的真空里移动。这些符号就是构成万物的基本粒子。」这里有一个默认的前提，就是物质的下降链条有个尽头，「基本粒子」这个说法是有意义的。

柯里： 我们在第二十九页，跟不上的话可以追一下。「排版规则就是物理定律，它告诉我们：给定某一瞬间所有粒子的位置和速度，如何修改它们，从而得到下一瞬间的一组新的位置和速度。于是这个宏大形式系统的定理，就是宇宙中不同时刻粒子的各种可能构型。而唯一的公理是，或者说曾经是，时间开端处所有粒子的那个初始构型。」

柯里： 「不过，这个设想过于宏伟，以至于它只具有最理论化的意义。何况量子力学和物理学的其他部分，至少可以让人怀疑这个想法在理论上是否还有价值。」

柯里： 说到底，我们问的是：宇宙是不是决定论式地运作的？这是个悬而未决的问题。我记得是拉普拉斯说过：只要你给我宇宙中每一个粒子的位置和动量，我就能告诉你此后的全部未来。

柯里： 这引出了我们这门课要探究的一个宏大的哲学问题：如果宇宙是决定论的，如果牛顿定律支配着我的胳膊怎么落下、我身体里所有原子怎么相互作用，那么自由意志是从哪里钻进来的？我怎么知道这些行动是由我控制的，而不是因为大爆炸的时候这边的原子团密一点、那边稀一点，然后一切按照决定论的定律演化，就像我们现在摆弄的这些形式系统一样？

柯里： 这个问题其实可以在两个层次上想。第一，宇宙能不能被一个形式系统所建模：有力，解粒子的方程，这个粒子以这个角度撞上那个粒子，然后它们这样弹开，诸如此类。第二，我觉得它还想问另一个版本的问题，喜欢《黑客帝国》的人会感兴趣：宇宙在多大程度上就是一个严格意义上的形式系统？它是不是一个程序，在某个玩《魔兽世界》的高维外星人的后台运行着？他把我们的宇宙当作一个模拟，跑在他地下室的超级计算机集群上。谁知道呢。要么宇宙是决定论的，要么就是他用 Python 敲出了我们宇宙的全部规则，然后说，好，让这个模拟跑起来吧，于是我们就在他的电脑里，跟人发生各种戏剧性的纠葛，而他不时地调一调冒出来的 bug。想想还挺有意思的。

赋格与全书结构

柯里： 到这里，这五样思维工具我们都算讲到位了，接下来读整本书的过程中，我们会一再回到这些想法上。

柯里： 侯世达做的一件事，是把他的书本身也构造成了一种递归的形态。我刚才只举了递归出现的几个具体例子，这反映的是我个人的偏好：我是个偏艺术、偏数学的人，音乐上则差得多。我非常希望你们把不同的东西带进课堂来，因为《哥德尔、埃舍尔、巴赫》有一个高维的结构，每个人都能贡献自己的那一个切片。

柯里： 我最不愿意让你们错过的，就是这本书的音乐面向。侯世达的每一篇对话，其实都是按照巴赫的一首曲子的结构写成的。如果你一边听巴赫一边读那篇对话，也许真能听出一点侯世达所暗示的联系，那种同构。但首先你得知道他为什么选巴赫，以及递归在音乐里是怎么运作的，所以我才把这套音响搬了过来。我来放一段。

柯里： 这是巴赫的《G 小调小赋格》。讲个有意思的插曲：谁看过电影《美丽心灵》？好。约翰·纳什，那位后来疯了的数学家，普林斯顿，等等。据说他当年常在数学系的走廊里踱来踱去，抽着烟，不停地吹这首曲子的调子。

柯里： 刚才那段里你们注意到了什么？听力好的同学，听出什么了？

学生： 有一些模式。

柯里： 好，能不能把这些模式再说细一点？

学生： 我说不好，我也不是搞音乐的，我从没弹过，所以我不确定。也许是过了一定长度之后它又回来重复了。

柯里： 完全正确。你听到它以不同的音高、不同的音量进来，而且你注意到那是同一个主题。它就是同一个主题，被拉长、被倒置、被反过来演奏，在更高的层次上，在更低的层次上。

柯里： 所以《哥德尔、埃舍尔、巴赫》这本书本身就是按赋格的方式结构起来的。侯世达把全局摊开给我们看，而我在这第一讲里做的，正是把整本书一次性摊开给你们看。这样一来，等我把它拉长了、倒置了、反过来、用不同的音量再演奏一遍时，你们才听得懂。

对话与哥德尔铺垫

柯里： 很好，我们有了音乐的例证，也有了艺术的例证，但我们还得真正沉到书里去。凯伦·凯莱赫和我，或者任何一位真的想读的人，有谁愿意来读一段对话？谁现在手上有书？很好。你愿意读吗？不勉强。愿意？好。

柯里： 我们用最后大约十五分钟读一段对话。我这儿还有一本。我需要两个角色，一个阿基里斯，一个乌龟。这是我们在这篇对话里要遇见的两个角色，他们在整本书里都占据显要位置。我个人喜欢乌龟，所以我想演乌龟，不过谁想演乌龟也可以。

柯里： 好吧，只有一位勇士站出来。那就这样。翻到第七十九页。

柯里： 我先给你们交代一点这篇对话的背景。侯世达跟我一样，相信在真正切入一个题目之前，应该先从概念上把它引出来，所以他给每一章都配了一篇前置的对话，这篇对话就是对我们要谈的想法的概念性引子。

柯里： 这一篇讲的是两位数学家之间的冲突：库尔特·哥德尔和大卫·希尔伯特。希尔伯特相信数学可以被极其严格地纳入一个形式系统，而且这个系统的一致性（consistent）和完备性（complete）都可以被证明。这两个词我得在这篇对话结束后再定义。我们先开始读，尽量快一点。请注意，遇到斜体的部分，如果属于你的段落，也请把它读出来，好让大家知道书里正在发生什么。

柯里： 很好。时间基本上用完了。但我想留一个挑战：请注意第八十一页上乌龟谈到藏头诗（acrostic）的那段话。看你们能不能在这篇对话里找出那两处藏头诗。