The Limits of Understanding | World Science Festival

编者按：本文是世界科学节（World Science Festival）「理解的极限」专场的对谈实录。主持人为英国科学界的资深学者，四位嘉宾分别是算法信息论创始人之一、Ω数的发现者格雷戈里·蔡廷（Gregory Chaitin），哲学家、小说家、哥德尔传记作者丽贝卡·戈德斯坦（Rebecca Goldstein），天体物理学家、《上帝是数学家吗？》作者马里奥·利维奥（Mario Livio），以及人工智能先驱马文·明斯基（Marvin Minsky）。对谈以哥德尔的不完备性定理为轴心，延伸到数学的本性、意识与自由意志，以及人类理解究竟能走多远。本文依据现场录音编译整理。

开场：理解的极限与数学的地位

主持人：各位晚上好。今晚我们要探讨一个艰深的题目，我想各位并不意外：人类理解的极限，重点放在数学上。

这是一个科学节，而科学是我们认识和理解世界最可靠的途径。过去四百年，我们对物质世界和生命世界的理解都有了长足的进步。可是这种理解的边界在哪里？这是哲学家几个世纪以来反复琢磨的问题。传统上，他们担心的是归纳（induction）是否成立，也就是从个别推出普遍规律是否可靠；还有我们的感官在提供世界的信息时是否可靠，乃至是否有效。

今晚我们大概会触及这类哲学问题，但主要的焦点是数学和数理逻辑。原因在于，数学和数学式的思维支撑着科学中许多最重要的部分。自十七世纪以来，尤其是牛顿以来，数学一直是物理学的基石。物理学的某些部分，特别是二十世纪的物理学，比如量子力学，比如关于物质终极结构的理论，只有用数学才讲得通，它们根本不属于我们的常识世界。再看生物学。过去五十年，人们逐渐意识到 DNA 本质上是一种数字化的信息存储装置，而生命系统处理信息的方式，将是理解生物学的关键。我个人的看法是，考虑到生物信息及其管理的复杂程度，我们最后也许会走到一些奇怪的地方，就像物理学中的量子力学那样。

但数学和逻辑不仅是科学的支撑，它们看起来还是人类理解中最稳固的领域。它建立在公理和证明的牢固结构之上，似乎是人类知识里最可靠、最自足的部分。可今晚我们会看到，事情并不像表面那样简单。上世纪上半叶，哥德尔证明了数学并非总能被证明是一致的，事实上，有些数学事实永远无法被证明为真或为假。它们是数学中的悖论，或许可以类比文学中的悖论。这样看来，真理与数学之间的关系，可能比我们想象的要脆弱。各位，这就是我们今晚的地盘。先请看一段关于哥德尔的短片。

短片：希尔伯特的号召与哥德尔生平

旁白：1920年，在满目疮痍的战后欧洲，当时最有影响力的数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）向各地学者发出号召：证明数学的一致性。

戈德斯坦：那时候国家在许多方面都成了废墟，人们想要从废墟中解脱出来，想找到一辆通往未来的车，而科学和数学承诺着一个黄金时代。当时许多数学家真的相信，他们能够完成希尔伯特交给他们的任务，也就是证明数学和算术是可证一致的。所以，当一个年轻、轻声细语、彬彬有礼的大学生出来宣布，事情其实不是这样，那真是当头一棒。

旁白：揭示出数学局限的，是一位24岁的博士生，库尔特·哥德尔（Kurt Gödel）。他的思想将动摇数学和哲学的根基。

戈德斯坦：哥德尔思想的集大成之作，就是不完备性定理（incompleteness theorems）。有些数学事实，我们永远无法证明其为真或为假；不存在数学的万物理论。这是数学史上被证明过的最重要的结果之一。

旁白：哥德尔的身体并不健康。他是严重的疑病症患者，濒于偏执型精神分裂，曾多次进出精神病院。

戈德斯坦：他相信数，相信数学是实在的，倒是对自己的感官和对现实的知觉不那么有把握。

旁白：1939年，欧洲滑向第二次世界大战，哥德尔逃离维也纳前往普林斯顿，受邀成为高等研究院的终身成员。

戈德斯坦：哥德尔在某些方面很有魅力，很有绅士风度，但他也极为寡言，时常深深地缩回自己的世界。他对真理有一种深切的虔诚，是一个完全独立的思考者，什么都动摇不了他。他极少的几位朋友之一是爱因斯坦。爱因斯坦是个截然不同的人，但同样拥有惊人的思想独立性。他们彼此敬重，大概就是在这一点上：他们能在对方身上看到那种彻底的独立。

旁白：没有人了解这段友谊的性质，也没有人知道他们谈话的深度。晚年的爱因斯坦觉得自己的工作已无足轻重，他到研究院来，只是为了享有与哥德尔一起散步回家的特权。最后，偏执与对被下毒的强迫性恐惧，让哥德尔把自己活活饿死。他在普林斯顿一家医院去世，享年72岁，体重只有65磅。

戈德斯坦：我想，在他对肉身生活的恐惧和焦虑之中，在他感受到的身体痛苦和对健康的偏执之中，他的梦想是在来世得到一份奖赏：一个纯粹的、更加柏拉图式的实在。他是一个非常悲剧性的人物。

嘉宾介绍：四位不同学科的思想者

主持人：请各位嘉宾上台。我简单介绍一下每一位。

我左手边的这位是格雷戈里·蔡廷，数学家和计算机科学家，算法信息论（algorithmic information theory）的总设计师，这门理论关乎复杂性的计算。他还是 Ω 数（Omega number）的发现者，稍后我们也许会听到更多。他正站在新兴的「元生物学」（metabiology）领域的前沿，这个领域把生命看作某种生化软件。他写过十几本关于数学与哲学的书，包括《思考哥德尔与图灵》。他在纽约的 IBM 沃森研究中心工作多年，现为荣休研究员。

他左边是丽贝卡·戈德斯坦，哲学家、作家。作为哲学家，她的专长是科学哲学、数理逻辑和十七世纪理性主义。她的第一部小说是《心身问题》，之后又有多部小说。非虚构作品中有哥德尔传记《不完备性：库尔特·哥德尔的证明与悖论》，被《发现》杂志选为2006年十佳科学书籍。她最新的小说《上帝存在的36个论证》我读过，那是一部虚构作品。她曾任哲学教授和写作教授，现在在哈佛大学心理学系。

再左边是马里奥·利维奥，资深天体物理学家，负责哈勃太空望远镜的太空望远镜科学研究所的公共推广部主任。他的著作屡获奖项，包括《黄金比例：世界上最惊人的数字的故事》，以及被《华盛顿邮报》选为2009年最佳图书之一的《上帝是数学家吗？》。他的研究方向是超新星爆发和暗能量的本质。

最后是马文·明斯基，人工智能的先驱之一，在人工智能、认知心理学、数学、语言学、机器人学和光学等领域都有众多贡献。他在《情感机器》和《心智社会》两本书中讨论了人类智能的结构与功能，还建造了第一台神经网络模拟器 SNARC。他的其他发明包括多种机器人装置，并因其工作获得了众多奖项。明斯基博士是麻省理工学院教授，人工智能实验室的共同创办人。

阵容强大，欢迎四位。

维也纳学派与沉默的哥德尔

主持人：我想先从丽贝卡开始。能否给我们讲讲哥德尔，以及他生活的环境，也就是一战之后欧洲的思想氛围？

戈德斯坦：他出生在布尔诺（Brünn），一个捷克城镇，家里说德语。二十年代他来到维也纳。那时的维也纳是一座思想与艺术激荡的城市，人们从根基上重新思考一切。一战的结果实在不怎么样，人们感到必须从头再来。我常把那时的维也纳想成当年的纽约，什么都在那里发生，而且与国家的其他部分完全不合拍。

这种思潮的一个中心，就是我们今天所说的维也纳学派（Vienna Circle）。这个团体与哲学和科学中一场叫做逻辑实证主义（logical positivism）的运动联系在一起。这场运动同样想从根基上重新想清楚一切，把事情弄得极其清楚。他们有一条意义的标准：一个命题的意义，由能够证实它的条件给出。如果有一个命题，没有任何经验能支持或反对它，那它就是无意义的。「无意义」是他们常用的一个诅咒词。

这个圈子里有科学家、哲学家、数学家。维也纳学派的一位领袖、数学家汉斯·哈恩（Hans Hahn）有两个研究生，他邀请他们参加聚会。其中一个叫库尔特·哥德尔，非常安静，几乎不说话。这个团体还对路德维希·维特根斯坦（Ludwig Wittgenstein）怀着近乎虔敬的崇拜，维特根斯坦是他们的英雄，他们的上帝。他们对数学基础有一套看法。他们痛恨神秘，而数学恰恰呈现出某种神秘：我们怎么知道数学是真的？它有一种确定性，一种不可纠正性，一种无谬性，这些东西怎么会落到我们这种生物头上？它是在描述什么，还是我们自己编出来的？他们采纳了大卫·希尔伯特给出的一种数学观，即形式主义（formalism），这也是他们在「实证主义」前面加上「逻辑」二字的原因。

年轻的哥德尔就坐在这样的环境里，一言不发。他完全不同意他们，但他不说，直到他拿出了证明。

两条不完备性定理讲的是什么

主持人：那么这个证明是什么？

戈德斯坦：数学的大谜团，当然就是：这一切到底是什么？这里确实有某种神秘，因为数学不是经验性的，无论我们将来对世界有什么新的了解，都不会修正它。这也是为什么雇数学家很便宜，他们不需要天文台，不需要实验室，全在脑子里，是先验地从第一原理出发做出证明的。

我常这样想这个问题。格劳乔·马克斯（Groucho Marx）有句名言：任何肯接纳我为会员的俱乐部，我都不想加入。数学的问题是：我们这种生物，怎么会被邀请加入这个如此排他的认知俱乐部？我们凭什么拥有这种确定性？我们是不是在自己编？这些是不是只是约定的规则，只是一种更高级的国际象棋？这是形式主义学派的看法。还是说，数学在描述某种东西？哥德尔想提出一条定理，一条经过严格数学证明的定理，来回答这个元数学（metamathematical）的问题。

这就是它有意思的地方：它似乎是溢出了数学之外的数学，它告诉我们关于数学真理的本性，关于知识的本性，也许还有关于我们作为认知者的本性的东西。

定理有两条，第二条是第一条的推论。第一条是说，在任何形式系统（formal system）中……我是不是该先解释一下什么是形式系统？

主持人：对，请讲讲什么是形式系统。

戈德斯坦：形式系统是由规则约定出来的东西。你约定公理，约定字母表，约定字母表里的符号可以如何组合成合式公式，约定从一些公式推出另一些公式的规则。你不去操心这一切意味着什么，它是纯粹计算性的、机械的，原则上可以编进计算机。这是一个很粗略、很不正式的描述。形式主义想做的，就是把全部数学归结为形式系统，表明数学只是从约定的规则出发的纯粹机械操作，以此驱散神秘。

好，哥德尔第一不完备性定理：在任何丰富到足以表达算术的形式系统中，都存在一个可以在该系统中表达的命题，它是不可判定的（undecidable），意思是它和它的否定都无法在该系统中被证明。换一种稍有争议的说法：在任何丰富到足以表达算术的形式系统中，都存在无法被证明的真命题。

第二不完备性定理是第一条的推论。所有人立刻看出它的分量，因为希尔伯特说过需要做的事，正是证明算术的一致性。第二定理说：在一个形式系统中无法证明的东西之一，就是这个系统自身的一致性。什么叫一致性？粗略地说，一个系统如果对某个命题 P，既能证明 P 又能证明非 P，它就是不一致的。不一致的系统毫无用处，因为从矛盾可以推出任何东西。你有了一个能证明矛盾的系统，就能证明绝对任何东西，上帝存在，什么都行。所以哥德尔第二定理说，在一个系统内部，你永远无法证明这个系统的一致性。这对形式主义确实是致命一击。

柯尼斯堡的咕哝与冯·诺依曼的领悟

主持人：这听起来相当令人震惊。至少对我来说是这样。维也纳学派，以及整个世界，是怎么接受这件事的？

戈德斯坦：这里有个很有意思的地方。哥德尔怀着巨大的信念，他是柏拉图主义者（Platonist），相信数学描述的是一个超经验的领域。他想要一个数学证明，一个他认为能够在元数学上证明某种东西的证明。这是一个大胆到近乎狂妄的雄心，他也许实现了，也许没有，但他无疑做成了一件大事。

他在柯尼斯堡（Königsberg）的一次会议上宣布了这个结果，在最后一天，声音很轻，几乎是咕哝出来的。他说，也许确实有可能存在一些真命题，属于哥德巴赫猜想和费马大定理那一类（这是两个重要的未解问题，费马大定理后来已由怀尔斯证明），而对于每一个形式系统，都很可能存在这样的真命题无法在其中被证明。这个惊人发现的宣布就是这样咕哝出来的，没有一个人理会。事实上，这次会议的会议记录发表在逻辑实证主义的机关刊物《认识》（Erkenntnis）上时，根本没有提到这件事。

但会上有一位大数学家，约翰·冯·诺依曼（John von Neumann）。他是代替希尔伯特出席的，讲的是希尔伯特的形式主义。会后他走到这位年轻腼腆的数学家跟前说：等一下，你刚才说的是我以为你说的那个意思吗？他和哥德尔谈了一阵，认定这里面确有东西。他回到普林斯顿，继续思考，然后写信给哥德尔说：在我看来，你第一定理的一个推论似乎是，算术的一致性无法被证明。哥德尔回信说：对，你想得没错，我这里已经有严格的形式证明了。正是冯·诺依曼把不完备性定理讲给了所有人，是他传播了它。

Chaitin：Ω数与数学的无穷复杂性

主持人：格雷戈里，你也有一条不完备性定理。能否请你亲口告诉我们这到底是怎么回事？

蔡廷：没问题。你看，八十年过去了，我们仍然不知道哥德尔到底证明了什么鬼东西。问题在这里：通常的看法是，数学给出绝对的确定性，它是纯粹的思想，如果哪里有确定性，那一定是在纯粹思想的世界里。可是1931年，哥德尔把这块地毯从脚下抽走了。那么数学到底是什么？八十年了，我们还在争。余震没有停，地震还在继续。

我自己为了弄明白这件事，用了一些你在开场时提到过的概念：复杂性。这些概念来自生物学，或者说受到生物学的启发，但我把它们用在数理逻辑上。有了复杂性或信息量的概念，我就能证明，纯数学的世界具有无限的复杂性，或者说包含无限多的信息，而任何一个数学理论只有有限的复杂性。这样一来，不完备性就显得很自然了。

另一种看法是，我有一个叫做 Ω 的数，它来自图灵的停机问题（halting problem），有点像纯数学的 DNA。这个数是一个具体的例子，它展示了纯数学中的一个地方，那里存在无限的、不可约的复杂性。把 Ω 写成二进制，每一位都是一个彻底的意外，看起来完全是偶然的。所以它是一个非常具体的例子，说明纯数学包含无限的不可约复杂性：这些数学事实的成立似乎没有任何理由，而且有无穷多个。

主持人：你的意思是，你无法预测下一位是什么？

蔡廷：你无法预测下一位，也无法证明下一位。看起来就像上帝在数学真理上掷硬币。作为柏拉图主义者，我认为每一位都是确定的，没有人在拿数学真理掷骰子，但对我们来说它就是这个样子，无论用我们将来能拥有的任何数学工具都是如此。这是纯数学中一个事情看起来纯属偶然的地方，它们真的逃出了我们的能力范围。

我现在开始觉得，这打开了一扇通向生物学的门。哥德尔和图灵（Alan Turing，1936年）所做的，是朝着一个新方向迈出的第一步，把纯数学带向一个新的方向，我认为那就是生物学的方向。我想，五十年或一百年后的历史也许会这么说。因为 Ω 数表明纯数学包含无限的不可约复杂性，而通常人们认为，科学中复杂性所在的领域是生物学，生物学是复杂的领地，那里没有简单的定律；数学和物理学则应该是简单的，受美丽而简单的方程支配。哥德尔和图灵打开的那扇门告诉我们，纯数学其实有无限的复杂性，在某种意义上甚至比生物学更糟糕，因为生物学的复杂性虽然很大，却是有限的。纯数学比它还要糟。

基于这个线索，我一直在研究生物学的基本概念，想建立一门理论生物学。这非常困难，实际上是不可能的。所以我在做的是理论「元生物学」：不是为真实的生物学建立数学理论，那太混乱、太复杂、没有希望，而是看能否建立一个数学玩具模型，抓住生物学的某些本质思想。这是一个软件模型，基本想法很简单。你已经说过了：DNA 是数字软件。我作为数学家就抓住这个想法往下跑。定义这项元生物学工作的两个短语，我认为很有希望，但才刚刚起步：一是通过「变异软件的演化」来看待生物学，二是「软件空间中的随机漫步」。我就在各位面前挥一挥这几个神秘的词，请五十年后再来，也许那时候会有一个数学领域在那里。

主持人：我可能十五分钟后就回来，看看那时我们取得了多少进展。

柏拉图主义、形式主义与逻辑主义

主持人：两位都提到了柏拉图主义。我想我们不妨来谈谈数学中的实在论与非实在论。谁愿意接这个话题，解释一下这是什么？

利维奥：我很乐意谈谈柏拉图主义、丽贝卡提到的形式主义，还有其他几派。怀特海（Alfred North Whitehead）说过，整个西方哲学不过是柏拉图的一系列脚注，所以柏拉图是个非常聪明的人。他的看法也许用洞穴寓言解释最好：我们人类就像洞穴里的囚徒，有人把影子投在洞壁上，囚徒被迫看着影子，以为那就是实在。柏拉图基本上是说，数学存在于某个外在的世界，一个由数学形式构成的柏拉图世界。我在纸上画一个圆，那不是真正的圆，真正的圆在那个数学世界里，纸上的只是粗糙的近似。大多数在职数学家内心都是柏拉图主义者，他们认为数学在那里存在着，我们只是在发现数学真理。

丽贝卡刚才描述的形式主义学派，她用了国际象棋的类比，基本上是说：不，不，这一切只是我写下一些规则，或者一组公理，然后从中推导出全部数学。就像我给你象棋的规则，我们下象棋；我改一下规则，我们就在下另一种棋。我写下一组公理，得到一种数学；换一组公理，得到另一种数学。最好的例子是我们在学校里学的欧几里得几何，它建立在十条公理之上，其中一条说：给定一条直线和线外一点，只能过该点作一条平行线。直到十九世纪初，这都被当作上帝的真理，直到三位数学家各自独立地证明，你完全可以抛开这条公理，发展出新的几何，比如可以在马鞍形曲面上或者球面上描述的几何，那条公理在那里根本不成立，而它们同样是对空间的有效描述。所以形式主义者说，写下公理，我就给你全部。

哥德尔做的，是把这整个前提脚下的地毯抽掉了。用一句话概括丽贝卡讲的：他证明了没有任何形式系统、任何一组你写下的公理，能够捕捉数学的全部真理。我是物理学家，各位大概听过「万物理论」（Theory of Everything）这个词，物理学家努力想找到它。哥德尔定理表明，数学中不存在万物理论，也就是说，你不可能写下一组公理，然后从中推出全部数学。这就是这几派之间的张力。

除此之外还有第三派，逻辑主义（logicism），像伯特兰·罗素（Bertrand Russell）、戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）这些人。他们说：不，不，这一切其实都出自逻辑。我可以写下一些逻辑公理，比如我告诉你，要么是管家杀了百万富翁，要么是他女儿杀的；然后我告诉你女儿没杀他，你就必须得出结论是管家干的。这个结论与管家多大年纪、女儿的鼻子多长毫无关系。所以存在一些逻辑公理，弗雷格说他能从这些逻辑公理证明全部算术，包括一加一等于二。这看起来极好，几乎所有人都满意了：形式主义者说，好吧，一切都是游戏，但也许存在一个游戏之母；柏拉图主义者说，如果一切都出自逻辑公理，那些公理肯定就在那个数学世界的某处。

一切看起来都很好，直到弗雷格准备把他厚厚的书送去印刷时，罗素给他寄来了一个悖论。它有点像所谓的理发师悖论：一个理发师挂着牌子，「我给且只给村里不自己刮脸的男人刮脸」。这听起来完全合乎逻辑，自己刮脸的男人不需要理发师，理发师给其余所有人刮脸。直到你停下来问：那谁给理发师刮脸？如果理发师给自己刮脸，他就属于自己刮脸的那类人，因此他不该给自己刮脸；如果他不给自己刮脸，他就属于不自己刮脸的那类人，因此他必须给自己刮脸。罗素寄给弗雷格的悖论不完全是这个，但味道相似。它基本上表明，我们的逻辑系统也可能出错。

于是就有了危机。你提到哥德尔定理的震撼，人们感觉数学的整个根基变得摇摇欲坠。而这对我这个物理学家来说，谜团反而更大了：就在数学的根基摇晃的同时，数学却成了解释我们周围宇宙的一种极其强大的工具。用一件工具如此不牢靠的东西，怎么能解释整个宇宙？我说得有点长了。

主持人：这一点我一会儿正要问你。还有谁想就实在论、非实在论、柏拉图主义再说几句？

Minsky：公众对量子与演化的误解

明斯基：我有一大堆想法，不过有点跑题。我想谈谈公众理解的极限。科学里正在发生各种了不起的事情，但在几个方向上，公众被以一种奇怪的方式误导了，结果产生了一些奇怪的信念。让我举一个。

各位都听说过不确定性原理和量子力学的种种神秘。许多懂一点物理的哲学家向公众解释说，牛顿的世界，那个事物确定、机械、可预测的世界，是物理学一个不错的开端，但真正的物理学非常不同，事物是不确定的。有著名的海森堡原理：你不能同时知道一个粒子的位置和速度，对一个越确定，对另一个就越不确定。这完全正确。但数字很奇怪，因为这些量子效应在大多数情况下非常小。

笑话在这里。拿牛顿的世界来看蔡廷博士感兴趣的那类东西，演化、遗传等等，想一想一个小小的 DNA 分子，大家都知道那是决定生物学如何运转的密码。在牛顿的世界里看太阳系，它有点像一个原子，一颗大恒星，小行星绕着转。1900年前后我们知道原子也是这样，一个核，小电子绕着转。但笑话是，太阳系这样的东西并不稳定。比如我想是萨斯曼（Sussman）和麻省理工的杰克·威兹德姆（Jack Wisdom）几年前证明，在我们的太阳系里，木星那么大，引力场那么强，冥王星又离其他天体那么远，几十亿年后木星很可能会把冥王星甩出去。所以太阳系能维持多久并不清楚。

主持人：那也算不上什么大灾难，它已经不是行星了。

明斯基：没错。但另一方面，室温下的一个 DNA 分子可以稳定十亿年。所以演化之所以可能，正是因为量子力学，而不是尽管有量子力学。换句话说，公众被告知在现代物理学中事物更模糊、更不确定，这恰恰是错的。在牛顿的世界里，你根本不可能有这样的稳定结构。

还有大约五个例子，再讲一个。我们都学过演化，有些人说，随机变化和蔡廷谈的那种变异，怎么可能造出人这样壮丽的东西，带着全部的智能、数学和哲学？我们只不过是随机改一改，然后筛选，这怎么可能发生？你想过没有？达尔文式的演化，按照人们的解释方式，是有一个问题的。我不是说它不对，它绝对是对的，但有一点小麻烦。演化的运作方式是，你在生物体上做一些小改动，通常是随机的，虽然不总是，然后有的活下来，有的死掉，因为脚趾长得不对的从树上摔下来了，各种糟糕的事都会发生。演化记住了什么？它记住了管用的东西，却忘了是什么杀死了其他所有个体，这没有任何记录。所以说到智能，也许仅靠达尔文式的演化根本无法演化出一个大脑。我在这里不是搞神秘主义，我只是说，答案是语言、文化、社会。也许某种类似黑猩猩的生物得到了几个词或几个符号。我们对孩子讲什么？看看那些童话。我认为第一位伟大的心理学家其实是弗洛伊德，他认为心智由许多部分组成，非常复杂，早期经验会产生巨大影响。看看各种文化里流传的传说，几乎所有传说，比如《三只小猪》，讲的都是你可能犯的错误，而且通常是致命的。答案是，人类的孩子没有文化根本活不下来，因为他活不到足够长的时间，去亲自学会所有等着他的致命错误。

我可以一直讲下去，但我要说的是，当我们谈论理解的极限时，我们需要更多地了解人类的理解本身是如何演化和发展的。我的感觉是，人们总是嘲笑古人和他们愚蠢的传说，而我们自己，正从大概二十个无知层级中的一个走出来，进入下一个，每一年都懂得更多。

数学为何「不可思议地有效」

主持人：有一件事我总觉得自己无知，或者说觉得难以理解，就是所谓数学在解释世界上「不可思议的有效性」。我从来不明白为什么会这样。有人能帮帮我吗？

利维奥：好。顺便说一句，这个说法是诺贝尔奖得主尤金·维格纳（Eugene Wigner）提出的：「数学在自然科学中不可思议的有效性」。顺带一提，还有一篇论文题为「数学在生物学中不可思议的无效性」。不过我们说物理世界。这种不可思议的有效性是什么意思？举两个很快的例子。

四百年前，天文学家开普勒做了观测，那些观测不太精确，以当时的标准算精确，误差大约在百分之四。可是从这些相当稀疏的观测出发，牛顿爵士写出了一条数学化的引力定律，到二十世纪五十年代，它的精度已被证明优于百万分之一。事实上，2008年的一个实验表明，牛顿的平方反比律一直到56微米的距离上都成立，一微米是一百万分之一米。牛顿绝不可能想到他的数学定律在这样的尺度上还成立。是什么赋予了数学这样的力量？

我们有一个关于电与磁的万物理论，叫量子电动力学，一个高度数学化的理论。原子中运动的电子像一块块小磁铁，你可以用这个理论计算这块磁铁的强度，算到万亿分之几。大家现在都知道万亿是多少了，那是我们的年度赤字。2006年，电子的磁矩被实测到万亿分之几的精度，理论与实验的结果在万亿分之八以内吻合。

蔡廷：马里奥，你惊讶什么？世界就是用数学造出来的，上帝是数学家，这是最自然不过的事。

利维奥：我写过一本书就用这个标题，只不过后面加了个问号。因为你是数学家，我是物理学家。所以问题确实是，数学怎么会有这样的威力？特别是有一种我有时称之为「被动的有效性」的东西：像马文和格雷戈里这样的数学家坐下来，发展数学的某个分支，有时心里完全没有任何应用，甚至以没有应用为荣。可是有时几十年后，有时几个世纪后，恰恰是这些非常精确的数学分支，被发现正是某个理论所需要的。爱因斯坦的广义相对论是这样，群论也是这样。所以问题是，数学为什么会有这样的力量？

主持人：马里奥，然后马文。马文，你介意被打断吗？

明斯基：完全不介意。我有一个有趣的回答。让我们想想，如果世界不遵循简单的原理会怎样。你认为世界存在吗？人们争论不休，许多宗教建立在这样的想法上：世界在这里，一定有人造了它。当然接下来你不仅要问世界如何运转，还要问造物主如何运转。但真正的问题是，「存在」这个词根本没有意义。说这张桌子存在没问题，因为那意味着这张桌子在宇宙里；但说宇宙存在，是没有意义的。我的论证是：这只是一个可能的宇宙。现在考虑所有可能的宇宙，假设有一个宇宙能量不守恒，那么突然之间，东西就会炸开，DNA 就不可能在室温下维持十亿年。物理学家说，看这个惊人的数学，精确到十的十六次方分之一。你反过来问：如果不是这样会怎么样？仔细看你就会发现，那样一切都会爆炸，或者一切都会消失。事实上，当前的理论认为，偶尔确实有某个小东西爆炸了，那就是一次大爆炸，一个新的可能宇宙，这就是多重宇宙。换句话说，也许你根本不必回答这个问题，因为答案是显而易见的：在没有定律的世界里，没有 DNA，也没有哲学家来讨论它。

利维奥：关于这一点我说几句，因为我也写过多重宇宙这类东西。我只读了你那本书的一半。

明斯基：你读的是对的那一半。

利维奥：马文说的下面这一点是完全正确的：如果没有物理定律，或者物理定律与我们所知的大不相同，我们很可能就不会在这里，也就谈不上用数学描述那些定律。我们的宇宙是对称的，比如这里的一个原子和一百二十亿光年外的一个原子行为相同，正是这一点让我们有可能去解释任何东西。但这仍然没有回答问题：为什么我们的数学如此适合描述现存的定律？为什么完全不带任何应用目的建立起来的数学，最后能极好地描述物理现象？答案其实很复杂，但也不是那么难懂，它是许多因素的组合。

蔡廷：马里奥，世界总得用某种东西造出来，为什么不是数学？那是我们拥有的最美的东西。你对我的这个理由有什么意见？世界是用纯数学造出来的，它是存在的最美、最基本的东西，有最美的结构。显然，上帝，或者说造出我们所在的这个模拟世界的伟大程序员，会用这么美的材料。不然呢？用棉花糖造世界？

戈德斯坦：我提另一种可能的解释。从十七世纪开始，物理学做的事情是把结构分离出来。我们用什么描述结构？用数学的语言。所以到目前为止我们能表述出来的定律都是结构性的，因而是数学的，但它们并没有触及一切。有些问题，比如我最喜欢的意识的「困难问题」（hard problem of consciousness），我们至今无法着手，不只是解决不了，而是不知道从哪里下手。你可能会不同意我。原因在于，我们从物理学那里得来的「定律」的概念，就是分离出可以用数学表达的结构，而这并不穷尽物质本身。这是另一种不完备性，另一条不完备性定理。所以，这也可以解释为什么我们看到的物理定律总是数学的：那是我们唯一能抓住的东西，我们只有抓住那些东西的工具。

主持人：我放弃主持了，你们自己来。

利维奥：让我把三位说的编织一下。丽贝卡刚才触及了一个非常重要的点，格雷戈里也提到过：这些是我们手头现有的工具，我们尽力去用它们。不仅如此，我们还会根据手头的问题，把所用的数学稍作剪裁。比如我往这个瓶子里放石子，先放三颗，再放四颗，我会用算术来描述发生的事：三加四等于七。但如果我往瓶子里倒水，倒三次再倒四次，我不会说瓶子里有「七个水」。所以我们是根据想解决的物理问题类型来裁剪所用的数学的。

接着我们谈到了并非一切都能用数学描述……

蔡廷：我告诉你为什么。哥德尔不会喜欢你们二位争论的方式。正如丽贝卡在她那本漂亮的书里指出的，哥德尔是一个中世纪的人，他反对经验科学。他说纯数学是唯一一个保存了中世纪神学的领域，本质上保存了唯心论和柏拉图主义。他不相信经验科学，所有真理都应该是先验的真理，必然的真理。你们二位的态度在今天很常见，是一种经验主义的态度：不能提「上帝」这个词，不能提数学之美。但哥德尔属于中世纪，他会很不自在。

利维奥：我来告诉你哥德尔可能会怎么回应。哥德尔生活在几十年前，从那以后我们有了进步。我要说的是一件我们知道怎么写方程的事。我想描述大气中每一个原子将要做什么，听起来很简单吧？我知道方程，只要计算机足够大，我就能算出来。猜猜看，不行。为什么？因为你需要把每个原子在计算开始时的位置和速度输入计算机，而量子力学告诉我们，我连一个原子的位置和速度都无法精确给出，更别说大气中的所有原子了。而这个系统又是混沌的，也就是对初始条件无限敏感，你把一个原子的位置改动一点点，最后的答案就完全不同。所以有一些问题，量子力学和混沌系统告诉我们，我们永远无法计算。但我们仍然能够着手处理物理学的基本问题，在这一点上我完全同意格雷戈里：数学是我们做这件事最美的工具。这就是我谋生的方式，我用数学来解释宇宙。

意识是一个谜还是26个问题

明斯基：我想回到意识这个话题，因为我觉得那是个很奇怪的局面。「意识」是个老词，我认为是个社会性的词。翻翻我的书，我给这同一个词列了大约26种不同的含义。意识之所以被当作一个谜，是因为谈论它的哲学家没有意识到，他们把它当成了一个垃圾筐，把26个（具体数字我记不清了）他们不理解的心理学问题一股脑扔了进去。看看早期的弗洛伊德，他说意识是一组活动的集合，产生于基本本能与更高层约束之间的冲突，产生于个体想要的与文化想要的之间的冲突。弗洛伊德的模型非常复杂，不只是一个「意识」，他确实用这个词，但他还有前意识，还有在关口把守的审查者和促进者。而如今很流行的「意识之谜」，像史蒂文·平克这些人和其他哲学家大做文章，但在我看来，他们从不审视这个词，从不去看这只是把他们不理解的所有高层思维问题打包起来。给它一个单一的名字，当然就显得是一个大问题，一个非常困难的问题。但如果你把它拆成26个容易的问题，就像《情感机器》第四章那样，你就有一大堆事情可以做了，而且在我看来根本没有什么总体的神秘。

戈德斯坦：哲学家常常是这样描述的。比如托马斯·内格尔（Thomas Nagel）的《成为一只蝙蝠是什么感觉》。说一个东西是有意识的，意思是，对于那个东西来说，「成为它」是有某种感觉的。

明斯基：什么意思？

戈德斯坦：这里有事实。比如此刻，我是有意识的，别人我不确定，但我是。你可以描述我。作为小说家，我当然一直在做这件事：对那个人物来说，活在世上是什么感觉？世界对那个人物来说是什么样的？感受如何？

明斯基：所以有感觉，有记忆，有情绪，有36样东西。问题在哪儿？

戈德斯坦：问题是，如果你拿到一个对那个人的描述，一个像我们现在这样的纯物理描述，一个纯客观的描述，你能不能从中得出对「成为那个人此刻是什么感觉」的全部描述？关于一个人的主观性的事实，你能得出其中任何一条吗？

明斯基：你的大脑有两万个基因。如果有三万个方程，为什么不能？

戈德斯坦：从方程里能得出「此刻我是……」吗？

明斯基：「此刻」跟这有什么关系？

戈德斯坦：因为意识是发生在「此刻」的东西，它不是一个词，它是一种体验，是活着的人所感受到的事实。

明斯基：没有什么「它」。

戈德斯坦：马文，恕我直言，你不能靠宣布一个问题无意义来解决它。我知道这是个流行的策略。

明斯基：我没说它无意义，我说它是26个问题。

利维奥：马文的意思不是说它无意义。他是说，当你说「意识」时，你指的不是单一的一件东西，有很多问题被埋在意识这个概念底下。如果你真的去处理那些单独的问题，把它们正确地表述和提出，你也许能、也许不能为其中每一个找到物理的解答。请纠正我，如果我复述得不对。

明斯基：我举一个例子。也许我记错了，但很久以前我读伽利略，他有一个说法，叫「活力」（vis viva），运动的生命，随便什么意思。故事是这样的：他在谈这个东西，那是牛顿之前一百年。后来我们有了动量，是 mv，有了能量，是 mv 的平方，而伽利略用同一个词指这两样东西。我要说的就是这个。人们对意识感到困惑，就是伽利略和牛顿之间的区别。他们应该用26个词，却死守着一个，然后问「它」是什么感觉。没有什么「它」，有26样东西。

主持人：我猜可能还不止26个。

明斯基：对，有一万亿个神经元。

戈德斯坦：你知道我们在谈什么吗？我们在用纯客观、纯物理的术语描述一个物质系统。我不是二元论者，我认为我们就是我们的大脑，意识是大脑的一种功能。

明斯基：「是大脑的一种功能」，那个「它」在哪儿？

戈德斯坦：意识是一个大筐，装的是所有关于我为真的东西。除去关系性的东西以外，所有内在地关于我为真的东西，都关于我的身体为真。我不是在提笛卡尔式的二元论，不是说有两个分开的东西。我是说，如果你像我们现在这样，用生物学、物理学的描述来描述我的身体的一切，我们无法从这个描述中得出其他一些关于我为真的事实。

利维奥：他的意思是，你说的也许没错，也许我们现在还不知道，因为我们连所需的全部功能都还不知道。

戈德斯坦：在这一点上完全同意。

利维奥：但这并不等于我们知道这在原则上不可能。

戈德斯坦：对，对。

主持人：思考一下建造一台有意识的机器会遇到什么问题，光是想想其中的难点，对我们有帮助吗？

明斯基：这正是我写那一章的原因。在我看来，你希望一个心智拥有许多功能，当我开始给它们编目，让学生去编程实现时，我发现数量非常多。而谈论意识的哲学家，比如查尔默斯（Chalmers）和「意识的困难问题」，他们做的恰恰相反。他们谈感质（qualia），谈看到红色的性质是什么，而不是把它看作与血、与绘画、与上百种东西的关联，好像有一种「红性」似的。可我们知道，有些女性有两种红，根本没有什么「红」，有些人则没有红。

戈德斯坦：我们怎么知道这些女性的情况？

明斯基：因为她们有四种视锥细胞，你去测量就知道了。

戈德斯坦：我们是问她们。我们问她们这种体验的性质是什么，这些红有什么不同。你总得回到主体那里。

明斯基：她们不是小说家。你是小说家，所以你描述一种性质要用一整本书，而哲学家描述它，只说一句「有一个感质」。

戈德斯坦：如果要对意识体验做到公正，那确实每一刻都至少需要一部小说。

自由意志与哥德尔式定理的野心

主持人：既然我们在意识问题上已经达成一致了，那自由意志呢？有什么要说的吗？没人接？

利维奥：要是真有这么个东西，岂不可怕？

蔡廷：爱因斯坦总爱引叔本华的话：你可以做你想做的，但你不能想你想想的。差不多是这样。还有约翰·霍顿·康威（John Horton Conway），去年证明了一条定理，大意是，如果我们有自由意志，那么电子也有。

戈德斯坦：这里说的自由意志，是指事情不是被决定的，我们的行动或状态不是被决定的。哲学家常常重新定义自由意志，使它与决定论相容，这叫相容论（compatibilism），而且在相容论看来，自由意志恰恰要求决定论。如果我们的行动是由我们自己的欲望引起、决定的，而这些欲望本身也是被决定的，那么只要行动出自欲望，它就是自由的。这是一个有用的自由概念，也和我们的责任概念联系在一起。比如我去抢银行，是因为有人威胁说不抢就杀我的孩子，你可以说我的行动不是自由的，也可以说是自由的，因为我想让孩子活下去。无论如何，救孩子这个行动是自由的，而抢银行不是，因为抢银行不是我的欲望，所以我不该为此承担道德责任。基本上，我们想要的是一个能帮我们处理道德责任的自由概念。

利维奥：要从一个大问题跳到另一个大问题，我们该让邓普顿基金会再办一场科学节。

主持人：我正在往上帝那儿走，最后总会到的。

蔡廷：我觉得这场讨论的性质也显示了哥德尔成就的分量，这回到丽贝卡提过的一个主题。你看，我们说的这些全是词。作为数学家，我可以幻想有人证明一条定理，证明我们有自由意志，或者没有；或者证明我们有意识，或者没有。但我们离那还远得很。而哥德尔证明了一条有着如此深刻哲学后果的定理，八十年后我们还在讨论：这让数学何去何从？让确定性何去何从？让纯粹理性何去何从？作为纯数学家，我认为这太了不起了，我希望我们能对其他深刻的哲学问题也做同样的事，只是我毫无头绪该怎么做。

主持人：作为数学家，这让你不安吗？

蔡廷：是的。让我不安的是这做不到。所以我想看到一条定理，证明达尔文式的演化行得通，或者行不通，因为它太基本了，应该有一条漂亮的小定理证明它行得通，否则我们就没尽到本分。数学家通常证明的定理只与数学有关。严格来说，哥德尔和图灵是仅有的两个证明了溢出到哲学中去的数学定理的人。我们有了两个好例子，别停在这儿。

哥德尔之后，纯数学到底是什么

利维奥：说实话，我不太明白格雷戈里为什么不安。哥德尔的不完备性定理在数学内部展示了数学的局限，但这并没有阻止物理学家继续用数学解释宇宙。

主持人：但它让他们不舒服吗？

利维奥：没有。

蔡廷：为什么不？

利维奥：因为它揭示的更多是形式系统的缺陷，而不是数学整体的缺陷。

蔡廷：你记得吗，按当时的时尚，数学「应该」就是形式系统，而他证明的正是这一点是错的。那么纯数学是什么？没有人知道。

利维奥：它不是形式系统。学校里学的欧几里得，还有柏拉图那批人，疯狂地要用直尺和圆规证明一切，凡是直尺圆规做不到的就不算数。直到后来有人说：等等，我为什么要戴着这些镣铐？我可以用别的办法。回到我前面说的理发师悖论……

蔡廷：你不为它困扰，因为你是物理学家。我们数学家，至少有些人，是被它困扰过的。然后我们用通常的办法解决了问题：解决不了，就说服自己它不重要，忘了它。

利维奥：等一下……

蔡廷：等一下，哥德尔提出的问题还摆在桌上：什么是纯数学？希尔伯特说，纯数学是一个形式公理系统，我会把它找出来，到那时我们就确切知道：一个东西为真，当且仅当我能按这些规则证明它。哥德尔证明了这行不通。那么纯数学何去何从？答案是没人知道。我告诉你，你不在乎，因为你是物理学家。

利维奥：不，第一，我是理论物理学家，也就是说我每天都在用数学。但听着，我们知道量子力学的基础有问题，很严重的问题，比如观察者如何决定结果，等等。那个著名的「树在林中倒下」，我更喜欢另一个版本：一个男人在森林里说话，周围没有女人，他还是错的吗？

蔡廷：我就知道你会这么说。

利维奥：我们知道量子力学的基础有严重的问题。这阻止物理学前进了吗？没有。哥德尔定理阻止数学前进了吗？

蔡廷：等一下，物理学作为技术在前进，但谁在乎技术？量子力学基础的根本概念问题实在糟糕透顶。如果你想思考和理解世界，这是个严重的问题。如果你只想造晶体管、赚十亿美元，你当然不在乎。但如果你想理解世界如何运转，这个问题就很重要。你太实际了。哥德尔不是个实际的人，他对赚钱没兴趣。

利维奥：我压根不知道晶体管怎么造。我试图理解暗能量是什么，或者我们是否生活在多重宇宙里。

蔡廷：好吧，那你被原谅了。

利维奥：我的意思是，哥德尔定理尽管影响巨大，最终也没有阻止数学的进步。这本身就是一个有意思的问题：为什么没有？我想更好地理解这一点，而我不理解。

戈德斯坦：但哥德尔自己说过，他展示的是形式系统在捕捉我们全部数学知识上的局限，而不是数学知识本身的局限。在他那篇《什么是康托尔的连续统假设》里，他谈到这一点，说他证明的是，数学直觉不能从形式系统中被消除。所以问题又回到了数学直觉之谜，而这部分地就是意识的困难问题之谜。

蔡廷：没错，哥德尔本人有几篇很可爱的哲学文章，论证他的定理并不限制数学家解决任何问题的能力。但你去看那些文章，满篇都是词，看起来像哲学论文，因此可以无休止地讨论下去。哥德尔第一篇论文的伟大之处在于，它处理一个根本的哲学问题，并用一个数学证明把它了结了。哥德尔自己对晚年写的那些文章并不满意，有些他从不允许发表，因为他找不到证明，那些全是貌似合理的论证，全是词。所以我认为我们需要的是再复制一个哥德尔。哥德尔本人也在试图为其中一些结果找到证明，他不让那些文章发表，正因为它们只是词，而他要的是数学证明。所以我想我们仍然需要更好地理解这些问题。

戈德斯坦：当然。但你说第一篇论文如此了不起，是因为它解决了一个哲学问题……

蔡廷：这话是你说的，我从你的书里学来的，这是你的深刻洞见。

戈德斯坦：我同意你从我的书里学来的。

主持人：那么1931年那篇论文里得出的哲学洞见到底是什么？

蔡廷：数学并不给出绝对的确定性，因为它不是形式系统。这是一种说法。

戈德斯坦：我不认为哥德尔会同意。我想他会说，数学确实给出绝对的确定性，尽管它不是形式系统。

蔡廷：所以，八十年过去了，我们还在争论哥德尔到底做了什么、没做什么。

水母思想实验：数学是发现还是发明

主持人：我能再问一个问题吗？我记得好像是迈克尔·阿蒂亚（Michael Atiyah）说过，如果我是一只海底的水母……

利维奥：我可以复述这个故事。

主持人：你复述完之后，告诉我：如果你是一只水母而不是现在的你，你会有不同的物理学概念吗？

利维奥：这其实不是物理学的问题，问题是：我们的数学在某种意义上是不是必然的？我们的数学始于巴比伦人、希腊人和埃及人，特别是始于两个领域，算术和几何。算术中你能想到的最基本的概念是自然数，一、二、三、四、五、六。你可能会认为，无论什么文明，在哪里，都必然会想出自然数，它们是不可避免的。于是问题来了：假设智能不是存在于人类身上，而是存在于一只孤零零地生活在太平洋海底的水母身上。这只水母能感觉到的只有水温、水压和水流。这只水母会想出自然数吗？

主持人：它数不了数，没有鱼给它数，没有东西可数。

利维奥：所以我说是孤立的。它未必会想出那个系统。

明斯基：那食物颗粒呢？它不吃东西吗？

利维奥：它可能只是吸入海水，连带吸进里面的东西。

蔡廷：爱因斯坦对此有一段我觉得非常深刻的话。他在一两篇文章里说，即使是正整数也不是先验的。你以为它们是思维的必需工具，实际上它们是人类心智的自由创造，是我们为了组织感官知觉而发明的。这是一种准经验主义的数学观：数学是我们发明的，纯数学里最基本的概念也是发明。哥德尔在晚年的文章里讨论过这种观点，因为他们两个人经常聊天。我沿用拉卡托斯（Lakatos）的说法，把它叫做纯数学基础的准经验主义观点。

主持人：我之所以问这个，是想再往前走一步。数学对我们来说能如此有效地解释物理学。如果我是一只水母，我会创造出不同的物理学，或者不同的数学吗？因为我会有不同的数学。

利维奥：你可以问这样一个问题，这是个深刻的问题：为什么古巴比伦人从算术和几何开始？不是问他们为什么选某个数做进制，而是问为什么从算术和几何开始。我告诉你我的想法，这是个人意见。我认为这与我们的知觉系统关系很大，格雷戈里刚才也提到了。我们的知觉系统非常擅长看出事物的边界，我能看出这里是丽贝卡的轮廓，那边是背景。这与我们开始数东西有关。我们也非常擅长看出直线和曲线，能分辨一个东西是圆而不是椭圆，这同样是知觉系统的方式。我认为这就是我们从几何开始的原因。如果我们看到的一切都在红外波段，所有的线都是模糊的，也许我们会从不同的概念出发，得出不同的数学。

蔡廷：绝对真理如今完全过时了。但哥德尔相信绝对真理，我仍然认为这是一件值得思考的事，即使不时髦。它也许会回来。

主持人：你说值得思考，是认真对待，还是只是拿来惊叹？

蔡廷：都有，我看不出区别。

利维奥：马文可以告诉你，我们本来可以从另一种东西开始建立数学，叫元胞自动机（cellular automata），像一些小程序：你从一小组规则开始，放一颗白石子，旁边放一颗黑石子，等等，可以证明从这样的小程序能推出我们的许多数学和物理。

明斯基：在计算机的早期，我和丹尼·博布罗（Danny Bobrow）做过一个实验。我们写了一个程序，列出所有可能的图灵机，从最简单的开始。头几千台里，大多数什么也不做，有的转小圈子，比如数到三再从头开始，少数几台开始数整数。在头五万或十万台里，除了数数的以外，没有一台做出任何有意思的事。

主持人：有意思。

明斯基：换句话说，算术是可能发生的最简单的事情之一。

蔡廷：这是个漂亮的实验。这引出一个问题：传统的柏拉图主义观点是，上帝是数学家，世界是用纯数学造的；而马文刚才直接提到的一个更现代的版本是，上帝是程序员，世界是用软件造的。这算是那个古老观点的当代转世。

戈德斯坦：在某种意义上，这在我看来并不那么有意思：为了发现数学，我们的认知能力必须是什么样的；或者如果我们的认知能力不同，我们是否也能发现这些结构；或者如果认知能力大不相同，数学是否就无法被发现，我们无法触及它。这些在我看来都没有触及那个根本的问题：是否存在某种独立于我们的东西，在那里等着被发现，不管我们能不能发现它。我们演化出能发现这些东西的智能，是一个幸运的偶然。对我来说，我们居然知道任何东西，这本身就令人惊叹：我们，盲目的演化过程的产物，居然能坐在这里谈论哥德尔不完备性定理、相对论、量子力学，这在我看来太不可思议了。所以，如果认知能力不同我们就无法触及我们现在触及的这一点点东西，这在我看来并没有触及客观性问题的核心。

明斯基：大多数行星大概没有时间。生命大概用了五亿年才出现……

利维奥：生命出现得很早，37亿年前。

明斯基：好吧，但像地球这样围绕太阳的行星，只剩三十亿年太阳就要变成新星了。

利维奥：不是新星，是红巨星。

明斯基：所以可能大多数行星上没有数学家。太可惜了。

蔡廷：这里有个迫切的问题。假设我们收到另一颗恒星传来的信号，那边有智能水母，我们显然想交流，可我们和智能水母没什么共同之处，能聊什么？也许是哥德尔定理，也许是素数定理，数论，逻辑，哲学。也许什么都没有，我们毫无共同之处，只能给它们发动画片。

明斯基：发我们的电视节目。

戈德斯坦：哥德尔对我们用语言彼此交流的能力几乎没有信心。这也是为什么，尽管他有那些深刻的哲学信念，他对那些正在讨论这些问题的人一个字都没吐露。他要的是证明，证明就是一切。有一个我特别喜欢的故事：一次维也纳学派聚会之后，他和另一位数学家门格尔（Menger）一起回去，门格尔对他说，今晚我们把维特根斯坦派的人比下去了，我们一直保持沉默。因为维特根斯坦在《逻辑哲学论》的结尾说：对于不能言说的，必须保持沉默。一个可爱的同义反复。哥德尔回答说：我对语言想得越多，就越不相信我们能彼此谈论任何有意思的东西，越不相信我们能通过语言彼此理解。

主持人：我在谈话中常有这种感觉。但愿今晚我们没有证明这一点。有一整部电影就叫《迷失东京》（Lost in Translation）。

利维奥：我想回到你问的、丽贝卡刚才也触及的问题：我们是在发现数学，还是在发明数学？这是我的个人意见，数学家为此争论不休，格雷戈里会说我是物理学家……

蔡廷：柏拉图说我们是在「回忆」数学，记得《美诺篇》吗？

利维奥：所以既不是发现也不是发明。我的看法是：当你把问题提成「数学是被发现的还是被发明的」，你已经犯了一个错误。这样提问，人们立刻假定答案必须是发现，或者是发明，不可能是别的。而我的想法是，数学实际上是发明与发现的复杂交织。非常粗略地说：我们发明概念，然后发现概念之间的关系。举个具体的例子。不存在负一的平方根，没有一个数是负一的平方根。人类在某个时候不得不发明这个概念。一旦发明了它，人们就发现可以用它做各种数学。所以你发明了概念，然后发现了许多东西。

蔡廷：让我从墙的另一边给一个视角。我们都得在这个竞争激烈的世界里活下去，所以得大量发表。很多发表出来的数学论文，坦白说，看上去就是发明的、人为的，它们回答的问题本来就不该被提出。但当你找到一块真正基本、真正根本的数学，你有时会有一种感觉，也许是错觉，觉得它有某种必然性，你只是在发现柏拉图世界里本来就存在的东西。

利维奥：我同意，那是你的感觉，但大多数数学现在还达不到那个高度。就拿素数来说，这是大家的最爱。印度数学家和中国数学家从来没有发明素数这个概念。这不是说他们不知道有素数，而是他们没有把它宣布为一个概念，在他们的数学里它不出现，因为他们没有发明这个概念。当然人人都知道有素数，但欧几里得证明了素数有无穷多个，写下了数学证明，从此它们才成为数学的一个非常基本的部分。格雷戈里会说，我们后来发现了那么多关于素数的东西，它们像是发现。是的，大多数是发现，但那是在你决定这个概念存在之后。

收尾：三种「理解的极限」

主持人：我们快到结尾了。每位一分钟，不超过一分钟，说说你认为我们理解的最主要的极限是什么。从格雷戈里开始。

蔡廷：我认为我们还没有理解哥德尔的不完备性，它对我们仍然是一个挑战。理解的主要极限，也许是复杂性。有些东西对我们来说太复杂了，需要的信息量太大，人类的头脑装不下。在生物学里，你开始触到这些极限。所以我认为复杂性是一个非常重要的极限。

主持人：丽贝卡。

戈德斯坦：从哪儿开始呢？任何一个哲学问题都在丈量我们理解的极限。我的领域，哲学，就是由我们当中一些人聪明到足以提出的所有问题构成的。真正难的是弄明白问题本身是什么：我们刚好聪明到能提出问题，却不够聪明到能回答。所以去看哲学吧，你会在那里找到我们理解的全部极限。

利维奥：我认为眼下我们理解的最主要的极限是，我们无法确知什么是真正基本的，什么可能只是偶然的。开普勒认为太阳系的行星数目是一个基本的事实，需要从第一原理出发去解释，今天我们知道不是这样。也许我们现在视为基本的一些东西，实际上并不基本，而是偶然的，也许在多重宇宙中，我们只是碰巧生活在一个有这些东西的宇宙里。我们不知道这条界线在哪里，我认为这是我们理解的一个重大极限。

主持人：马文。

明斯基：我的答案略有不同，希望蔡廷和丽贝卡会同意，蔡廷一定会。在我看来，自哥德尔以来最重要的发现，是蔡廷、所罗门诺夫（Solomonoff）和柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）发现的一个叫算法概率（algorithmic probability）的概念。这是一个全新的基本理论，讲的是给定一组经验之后如何做出预测。这是一个美丽的理论，每个人都该学。但它有一个问题：你没法实际算出这个理论的预测，因为太难了，需要无限的工作量。不过，应该有可能对蔡廷、柯尔莫哥洛夫、所罗门诺夫的理论做出实用的近似，它会比我们今天拥有的任何东西都预测得更好。每个人都应该去学它，然后用余生去研究它。

主持人：今晚我们至少学到了一件事：我们几位嘉宾的理解，几乎没有极限。非常感谢各位。